Уравнения первого порядка. Основная задача, решаемая для обыкновенных дифференциальных уравнений, – это задача Коши, или начальная задача

Основная задача, решаемая для обыкновенных дифференциальных уравнений, – это задача Коши, или начальная задача, которая состоит из дифференциального уравнения и начального условия в одной точке. Чаще всего такая задача возникает при моделировании развития тех или иных процессов во времени, когда начальное состояние системы считается известным.

Определение. Задача нахождения решения дифференциального уравнения при , удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши.

Численно решение ищут на конечном заданном отрезке .

Будем предполагать, что функция удовлетворяет условию Липшица по , т.е. существует такая постоянная , что

при всех и всех из интересующей нас области. Это условие обеспечивает единственность решения задачи Коши, если оно существует. Для дифференцируемых по функций условие Липшица выполняется тогда и только тогда, когда для всех из рассматриваемой области выполняется неравенство .

Кроме задачи Коши выделяют еще краевые задачи и задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений.