Метод Ньютона

Этот метод является одним из наиболее эффективных методов решения самых разных нелинейных уравнений. Расчетная формула метода Ньютона . При выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод Ньютона сходится квадратично. Практический критерий окончания итераций метода Ньютона .

Пример: Используя метод Ньютона, найти с точностью положительный корень уравнения .

Решение: Корень уравнения локализован на отрезке . Для имеем . Очевидно, что , то есть – простой корень. Возьмем начальное приближение (середина отрезка) и будем выполнять итерации метода Ньютона по формуле . Результаты первых итераций с 10 знаками мантиссы приведены в таблице.

	0.5000000000
	0.7392185177
	0.7042444088
	0.7034399951
	0.7034395712

При вычисления следует прекратить и после округления получим .

В качестве недостатка метода Ньютона следует отметить необходимость вычисления значения производной на каждом шаге итерации. Приведем некоторые расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения , которые являются, по существу, модификациями метода Ньютона. Эти методы используют на каждой итерации некоторую процедуру линеаризации нелинейного уравнения.

Упрощенный метод Ньютона: , ;

Метод ложного положения: , , где – фиксированная точка из окрестности корня;

Метод секущих: , ;

Метод Стеффенсена: , .

Модифицированный метод Ньютона для поиска кратных корней:

, .

Контрольные вопросы

1. Из каких этапов состоит численное решение уравнения ?

2. Как графически можно произвести отделение корней?

3. Приведите пример отделения корней нелинейного уравнения.

4. Какая теорема лежит в основе локализации корней уравнений.

5. Назовите известные Вам методы решения нелинейных уравнений.

6. Опишите одну итерацию метода бисекции.

7. Во сколько раз сократится отрезок локализации корня после - ой итерации метода бисекции.

8. С какой скоростью сходится метод бисекции?

9. Сформулируйте критерий окончания метода бисекции.

10. К какому виду необходимо привести уравнение для применения метода простой итерации.

11. Опишите алгоритм метода простой итерации.

12. Сформулируйте критерий окончания метода простой итерации.

13. По какой формуле рассчитывается очередное приближение к корню нелинейного уравнения по методу Ньютона.

14. Опишите алгоритм метода Ньютона.

15. С какой скоростью сходится метод Ньютона?