Правила записи приближенных чисел. Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности

Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности. Приведенные ниже утверждения позволяют в дальнейшем связывать точность числа с количеством его верных значащих цифр и трактовать потерю точности как потерю верных цифр.

Утверждение:

1. Если число содержит верных значащих цифр, то справедливо неравенство ;

2. Для того чтобы число содержало верных значащих цифр, достаточно, чтобы выполнялось неравенство ;

3. Если число имеет ровно верных значащих цифр, то и таким образом .

Утверждение:

1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, т.е. .

2. Абсолютная погрешность произведения может быть оценена по формуле .

3. Для относительных погрешностей суммы и разности приближенных чисел верны оценки, .

4. Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки , при условии в последней, что .

ПРАВИЛО 2

Следует избегать вычитания близких чисел и деления на слишком большие и слишком маленькие числа. При суммировании слагаемые следует располагать в порядке возрастания абсолютных величин, стараясь, чтобы при каждом сложении порядки величин различались мало (при необходимости цикл суммирования можно разбить на несколько более коротких).

Пример: Вычислить , используя условную ЭВМ, выполняющую вычисления с обычной точностью, и систему MATLAB [7].

Решение: Вычислим последовательно для различных значений n величину , результаты представим в виде таблицы.

Однако известно, что . Наблюдаемый численный эффект связан с делением на слишком большие числа.

ПРАВИЛО 3

Любое вычислительное средство имеет свою «машинную бесконечность» и свой «машинный эпсилон» – наименьшее представимое данным вычислительным средством число, удовлетворяющее условию

.

При исчезновении порядка не всегда следует обнулять результат.При переполнении не всегда можно признать результат вычислений бесконечно большим. В этих случаях следует попытаться изменить порядок действий, ввести масштабные множители и т.д.

ПРАВИЛО 4

Следует избегать плохо обусловленных вычислительных задач. Приведем примеры таких задач.

Пример 1:

Система: Решение:

.

Изменим правую часть второго уравнения на 0, 0002, т.е. будем искать решение системы следующего вида:

.

Изменим первоначальную систему еще раз (два коэффициента):

.

Видно, что небольшое изменение исходных данных (не более чем на ) приводит к значительному изменению решения задачи. Обратим внимание, что в первом случае главный определитель системы , во втором – , а в третьем – .