Постановка задачи. Отделение корней.

Пусть дано нелинейное уравнение , где – непрерывно дифференцируемая функция. Решение уравнения состоит из двух этапов:

1) Отделение корней, то есть отыскание областей, в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения.

2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью.

Отделение корней можно произвести графически с сопутствующим анализом на монотонность, смену знака, выпуклость функции. В частности, полезны следующие сведения из математического анализа:

1) Если – непрерывная строго монотонная функция и , то на отрезке существует единственный корень уравнения .

2) Признак строго монотонного убывания (возрастания) дифференцируемой функции на отрезке : на .

3) Признак строгой выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции на отрезке : на .

Способы отделения корня:

1) Составляется таблица значений функции на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения находится между ними.

2) Строится график функции на промежутке изменения аргумента ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение заменяется равносильным . Строятся графики функций и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось точек пересечения этих графиков.

Пример: Локализовать корни уравнения .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и построим графики функций , .

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения. Из рисунка видно, что уравнение имеет два корня и , расположенные на отрезках и . На концах данных отрезков функция принимает значения разных знаков, так как . Следовательно, в силу первой теоремы Больцано-Коши на каждом из отрезков и находится по крайней мере один корень.

В дальнейшем будем полагать, что корни уже отделены.

Для вычисления отделенного корня существует множество методов. Из них мы рассмотрим следующие: метод бисекции (метод деления пополам), метод простой итерации и метод Ньютона.