Теорема Томпсона.

Прежде чем сформулировать и доказать теорему Томсона, рассмотрим один вспомогательный результат кинематического ха­рактера. Обратим внимание на то, как с течением времени изменяется цир­куляция скорости Г, вычисляемая по контуру, состоящему все время из одних и тех же частиц жидкости (так называемому «жидкому» контуру). Такой контур перемещается вместе с жид­костью и может деформироваться. Очевидно, что для жидкого контура Г = Г(t).

Если кривая замкнута (А = В), то

(1)

Таким образом, производная по времени от циркуляции скоро­сти по замкнутому (жидкому) контуру равна циркуляции уско­рения по тому же контуру.

Применим полученный нами результат для доказательства так называемой теоремы Томсона: если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.

Для идеальной жидкости имеем

. (2)

Так как жидкость баротропна (ρ = ρ (р)), то существует функ­ция P(p) такая, что . Так как массовые силы консервативны,

F = - grad V. Поэтому, учитывая условия Теоремы Томпсона, будем иметь

. (3)

Подставляя (3) в (1), получим

, (4)

откуда Г(t) = const.

Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается для этого контура постоянной во все время движения.

Замечание. Поскольку из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность, то из теоремы Томпсона вытекает, что поток вектора вихря через поверхность S, ограниченную жидким контуром, не зависит от времени.

Теорема Лагранжа.

Пусть выполнены условия теоремы Томсона, т. е. жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Тогда справедлива следующая теорема Лагранжа: если в некоторый момент времени t₀ в фиксированной массе жидкости нет вих­рей, то их не было в предыдущие и не будет в последующие моменты времени.

Действительно, пусть в рассматриваемой массе жидкости, находящейся в объеме τ, в момент времени t₀ нет вихрей, т. е. Ω = 0. Тогда течение жидкости потенциально: v = grad φ и цир­куляция скорости Г_о по произвольному замкнутому контуру l₀ равна нулю

(1)

Рассмотрим выделенную массу жидкости в любой другой мо­мент времени t и в ней возьмем произвольный контур l. Лю­бому контуру l в момент t можно сопоставить контур l₀ в мо­мент t₀, состоящий из тех же частиц жидкости, для которого справедлива формула (1).

По теореме Томсона циркуляция Г по контуру l будет также равна нулю. Применяя формулу Стокса, получаем для любого момента времени

(2)

где S — поверхность, ограниченная контуром l и целиком находящаяся в объеме, занимаемом жидкостью.

Поскольку для любой области S интеграл равен нулю, из (2) следует, что Ω = 0. Теорема Лагранжа составляет основу для рассмотрения безвихревых течений в гидромеханике идеаль­ной жидкости, так как если движение жидкости безвихревое (потенциальное) в начальный момент времени, то оно будет безвихревым (потенциальным) и в последующие моменты вре­мени.

Все предположения в теореме Лагранжа существенны. В частности, существенно не сформулированное явно предполо­жение о гладкости поля скоростей.

В условиях Земли теорема Лагранжа является приближен­ной, так как массовые силы будут консервативны, если не учи­тывать силы Кориолиса, а сжимаемую жидкость можно рас­сматривать как баротропную, если пренебречь рядом факторов, например, теплопроводностью и др.