Система уравнений гидромеханики вязкой теплопроводной жидкости и постановка задач для нее. Уравнение Навье-Стокса.

Рассмотрим вязкую жидкость, для которой связь тензора напряжений с тензором скоростей деформации дается формулами

, ,

, , (1)

, .

Будем предполагать, что жидкость подчиняется закону теплопроводности Фурье. Рассмотрим жидкость без внутреннего момента. В этом случае уравнение моментов (учитывая, что ) удовлетворяется автоматически.

Уравнение неразрывности будет иметь вид

(2)

Уравнение движения сплошной среды

(3)

Уравнение энергии

(4)

Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформации отображается (1).

Закон теплопроводности Фурье

, , . (5)

Уравнение состояния

(6)

К этим уравнениям надо присоединить выражения для внутренней энергии E, коэффициентов вязкости μ и λ и теплопроводности k:

, , , . (7)

Считаем, что поле массовых сил F и вид функции ε известны.

Таким образом, получена общая система уравнений гидромеханики вязкой жидкости.

Рассмотрим однородную несжимаемую жидкость. Для нее - уравнение состояния. Будем предполагать, что коэффициенты вязкости μ и теплопроводности k являются постоянными:

μ = const, k = const. (8)

Так как ρ = const, то и уравнение неразрывности принимает вид

(9)

Тензор напряжений в силу (9) будет

, , ,

, , . (10)

Рассмотрим уравнение движения (3). Запишем его проекцию на ось x и подставим вместо τ _ik выражение (10). Учитывая при этом (8), получим

. (11)

В силу (9) уравнение (11) примет вид

.

Аналогично запишутся два других уравнения – проекции на оси y и z. Введем обозначения

, (12)

Перепишем уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в виде

, , . (13)

Уравнения (13) равносильны одному векторному уравнению

. (14)

Уравнения (13) и (14) носят название уравнений Навье-Стокса.

Для вязкой несжимаемой жидкости система уравнений имеет вид

,

,

. (15)

Функция Ф имеет вид

Чтобы решение интересующих задач, описываемых этой системой, было единственным, должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим граничные условия трех типов: на обтекаемом теле, на границе раздела двух жидкостей и на бесконечности.

Постановка задач для установившихся течений.

1. Граничные условия на обтекаемом теле. При установившемся течении тела неподвижны, скорость u точек поверхности обтекаемого тела равна нулю. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу. Поэтому на поверхности S непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю, т.е.

или , , где υ _n, υ _τ – нормальная и касательная составляющие скорости.

Если поверхность непроницаема, то , где U(M) – заданная функция.

Также ставится условие для температуры: либо задается температура Т жидкости у поверхности тела, если - температура точек поверхности тела, то ; либо задается поток тепла, идущий от тела к жидкости (или обратно) и условие означает непрерывность потока тепла.

2. Граничные условия на поверхности раздела двух жидкостей. Поверхность Σ неподвижна. Условие для скорости - условие непрерывности скорости при переходе через поверхность раздела, т.е в вязкой жидкости должны быть равны не только нормальные, но и касательные составляющие скорости.

Условие для напряжений .

Условие для потока тепла (сохранения потока тепла)

.

3. Условия на бесконечности

, , .

Таким образом, задача состоит в нахождении решения системы уравнений, удовлетворяющего указанным условиям.

Постановка задач для неустановившихся течений.

1. Граничные условия на поверхности тела. Для непроницаемого тела

. Для проницаемого тела , где V(M, t) – заданная функция. Условия для температуры сохраняют свой вид, но функции зависят еще и от времени.

2. Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид для установившихся течений, но теперь от времени t могут зависеть не только функции v, τ _n, T, но и сама поверхность раздела Σ.

3. На бесконечности должны быть известны , , .

4. Начальные условия не отличаются от начальных условий в идеальной жидкости.

Таким образом, требуется найти решение системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости, которое в момент времени удовлетворяло бы начальным условиям и во все моменты времени условиям на поверхности тела, условиям на поверхности раздела и условиям на бесконечности.