Теорема Гельмгольца о сохранении вихрей

Предполагаются выполненными условия теоремы Томсона, а именно: жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны.

Первая теорема. Если жидкие частицы в какой-либо момент времени t₀ образуют вихревую линию, то эти же частицы обра­зуют вихревую линию во все последущие и все предыдущие моменты времени.

Докажем сначала, что если в некоторый момент времени жидкие частицы образут вихревую поверхность, то эти же час­тицы образуют вихревую поверхность при всех t (t < t₀ и t> t₀).

В каждой точке вихревой поверхности согласно ее опреде­лению вектор вихря скорости перпендикулярен нормали к по­верхности, т. е.

(1)

Пусть жидкие частицы в момент t_о образуют вихревую поверхность S_o. Рассмотрим на этой поверхности произвольный замк­нутый контур l₀, ограничивающий участок поверхности σ _о. Со­гласно формуле Стокса имеем

(2)

В момент времени t частицы жидкости, находившиеся в момент t₀ на контуре l₀, образуют контур l, ограничивающий площадку σ поверхности S, на которую перешли частицы с поверхности So. Но по теореме Томсона циркуляция по жидкому контуру не ме­няется со временем, т. е.

Следовательно, для участка σ поверхности S, учитывая формулу Стокса, получаем

(3)

Ввиду произвольности σ из (3) следует, что в любой точке поверхности выполняется (1), т. е. поверхность S вихревая. Действительно, допустим, что это не так и поверхность не вих­ревая, тогда найдется такая точка А этой поверхности, в кото­рой . По непрерывности и в некоторой области, ограничивающей эту точку. Эту область можно выбрать на­столько малой, что Ω _n будет сохранять тот же знак, что и в точ­ке А. Взяв эту область за σ, получим , что противоречит (3).

Докажем теперь, что вихревая линия остается при движении жидкости вихревой. Пусть в момент времени t₀ жидкая кри­вая А₀В₀ есть вихревая линия. Проведем через какую-либо точку этой линии две пересекающиеся кривые. Проведя через точки этих кривых вихревые линии, получим вихревые поверх­ности S₁⁰⁾ и S₂⁰⁾. Линия пересечения S⁽₁⁰⁾ и S₂⁰⁾ есть по построе­нию вихревая линия А_аВ₀. В момент времени t жидкие поверх-

ности S⁽₁⁰⁾ и S₂⁰⁾ перейдут в поверхности S₁ и S₂. По доказанному выше поверхности S₁ и S₂ будут вихревыми. На поверхности S₁ будут все жидкие частицы, которые были на S₁, на S₂ — все частицы, которые были на S₂⁰⁾. Жидкие частицы, которые при­надлежали сразу двум поверхностям S⁽₁⁰⁾ и S₂⁰⁾ опять будут принадлежать сразу двум поверхностям S₁ и S₂. Это значит, что вихревая линия А₀В₀ перешла в линию пересечения АВ вихревых

поверхностей S₁и S₂.

Вектор вихря Ω в любой точке пересечения двух поверхно­стей S₁ и S₂ должен лежать в касательной плоскости к каждой из поверхностей, т. е. вектор Ω направлен по касательной к линии пересечения АВ, поэтому линия АВ - вихревая линия.

Вторая теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем.

Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватывающему трубку .

Такое понятие имеет смысл, если ин­тенсивность (т. е. циркуляция Г) не зависит от положения кон­тура l по длине трубки. По теореме Стокса

, где σ - поверхность, пересекающая вихревую трубку.

Докажем, что для всех контуров l, лежащих на поверхности трубки и охватывающих ее, интенсивность одна и та же. Пусть l₁ и l₂ — два каких-либо из таких контуров. Рассмотрим объем τ, ограниченный поверхностью S, состоящий из S₁, Σ, S₂, где S₁ и S₂ — сечения трубки, ограниченные соответственно контурами l₁ и l₂, а Σ — часть боковой поверхности трубки, заключенная между l₁ и l_2.

Рассмотрим поток вихря через поверхность S. Согласно теореме Гаусса-Остроградского получим

(4)

(5)

Поскольку на поверхности Σ (вихревая поверхность) имеем

(6)

Здесь n — внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем τ. Введя и используя формулу Стокса, получим

,

, (7)

Где Г₁ и Г₂ – циркуляции, вычисленные при обходе контуров l₁ и l₂ в одном направлении. Из (6), учитывая (7), получим

, Г₁= Г₂,

т. е. интенсивность Г вихревой трубки постоянна по ее длине. Так как выполнены условия теоремы Томсона, то циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени и, следова­тельно, интенсивность вихревой трубки не изменяется со вре­менем.

Уравнение Фридмана для вихря.

. (1)

Уравнение (1) называется уравнением Фридмана. Если поле массовых сил консервативно (F = —grad V) и жидкость баротропна, то

rotF = 0, gradρ X grad р = φ '(р) grad pX grad p = 0.

В этом случае уравнение Фридмана приобретает вид

(2)

Если, кроме того, жидкость несжимаема, уравнение (1) запишется в виде

(3)

Уравнения (2), (3) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения (2).

Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсервативности массовых сил и бароклинности жидкости.