Комплексный потенциал. Комплексные потенциалы простейших потоков.

Мы получили выражения для проекций скорости через производные от функций φ и ψ. Сравнивая их, получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока

, . (1)

Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция

будет функцией одной комплексной переменной z = x + iy. Функцию (2)

Называют комплексным потенциалом, или характеристической функцией течения. Если комплексный потенциал известен, то легко найти функции φ и ψ.

, (3)

Введение комплексного потенциала позволяет применить хоро­шо разработанный аппарат теории функций комплексного пере­менного для отыскания решения многих задач об установив­шихся плоских потенциальных течениях идеальной несжимаемой жидкости.

Рассмотрим комплексные потенциалы простейшего вида и установим, каким течениям они соответствуют.

Пример 1. ω (z) = az, где а > 0 (вещественно):

φ (х, у) + iψ (x, у) = а(х + iy).

Отделим вещественную и мнимую части

φ (х, у) = ах, ψ (х, у) = ау.

Компоненты скорости

,

Имеем течение вдоль оси х с постоянной скоростью а. Линии тока ψ = const есть прямые у = const, линии равного потен­циала φ = const есть х = const.

Пример 2. ω (z) = ae~^iaz, где а и α вещественны и пусть, для определенности, положительны. Имеем

Отсюда

,

.

Компоненты скорости

, .

Линии тока ψ =const есть прямые y=tgα x+C, образующие угол α с осью x. (рис.3)Это же следует и из выражения для скоростей. Таким образом, имеем поступательный поток с постоянной скоростью, образующий угол α с осью x. Линии φ =const – прямые, перпендикулярные линиям тока.

рис. 3

Пример 3. , где q вещественно.

Рассмотрение этого примера удобнее вести в полярных координатах r, θ

, , , , , .

Линии тока ψ = const будут лучами, выходящими из начала координат. Линии равного потенциала φ = const есть окружно­сти r = const (рис. 4).

рис.4

Пример 4. Пусть в точке А плоскости {х, у) расположен источник обильности q, в точке В — источник обильности — q (сток), причем комплексные координаты точек (рис. 5)

, .

рис. 5

Комплексный потенциал течения, вызываемого каждым из ис­точников, имеет вид

, .

Комплексный потенциал суммарного течения

,

.

Пусть l→ 0, а q→ ∞, причем так, чтобы произведение ql оставалось постоянным: ql=M. Тогда для такого предельного течения комплексный потенциал будет иметь вид

Эта формула дает комплексный потенциал течения от расположенного в начале координат диполя с моментом М и осью диполя, образующей угол α с осью x. Ось диполя принято направлять от стока к источнику.