Перетворення неоднорідних граничних умов в однорідні при використанні методу розділення перемінних

Вище було показано, що метод розділення перемінних є досить могутнім, а одержувані з його допомогою розв’язки представляються в зручній формі. Проте цей метод застосовний не до всіх задач. Для застосовності методу розділення перемінних граничні умови повинні бути лінійними й однорідними, тобто

Покажемо, яким чином задача з неоднорідними граничними умовами вигляду:

рівняння теплопровідності

граничні умови

(неоднорідні граничні умови) (25)

початкова умова

(26)

може бути вирішена шляхом зведення її до задачі з однорідними граничними умовами. Розглянемо найпростішу задачу про поширення тепла в тепло­ізольованому стержні, кінці якого підтримуються при постійних температурах Т₁, Т₂, тобто

(27)

, (28)

, (29)

(30)

Труднощі цієї задачі в тому, що, оскільки граничні умови в ній неоднорідні, ми не можемо вирішувати її методом розділення перемінних. Однак, мабуть, що при t ® ¥ розв’язок нашої задачі прагне до стаціонарного розв’язку, що лінійно змінюється (уздовж х) від температури Т₁ до температури Т₂ (Рис.3).

Іншими словами, розумно припустити, що температуру в нашій задачі можна представити у вигляді суми двох додатків:

T(x, t) = стаціонарна температура (граничний розв’язок для великих часів) + перехідна температура (частина розв’язку, що залежить від початкових умов і прагне до нуля з ростом часу) =

У даному випадку наша задача знайти перехідну температуру U(x, t)

Підставляючи

(31)

у вихідну задачу (22)- (30), ми приходимо до нової задачі щодо невідомої функції U(x, t). Вирішивши цю задачу щодо нової невідомий функції U(x, t), можна додати її до стаціонарного розв’язку, у результаті чого вийде шукана функція T(x, t). Проробляючи ці прості перетворення з (27) – (30), одержимо

(32)

, (33)

, (34)

, (35)

де нова, але відома початкова умова.

Ця задача не тільки з однорідним рівнянням, але і з однорідними граничними умовами, що дозволяє вирішити її методом розділення перемінних, використовуючи розглянутий вище метод розділення перемінних, для функції U(x, t) одержуємо наступний вираз

, (36)

де

(37)

Остаточно, розв’язок вихідної задачі виходить у такому вигляді

(38)

Що стосується граничних умов із залежними від часу правими частинами, то основні ідеї тут такі ж, як і в попередній задачі, але трохи більш складні.

Перетворення залежних від часу граничних умов у нульові.