Пересечение поверхностей вращения.

Построение линий пересечения кривых поверхностей и, в частности, поверхностей вращения начинают с определения характерных точек линии пересечения.

Характерными точками называют экстремальные точки линии пересечения – высшую и низшую, крайнюю левую и крайнюю правую, а также точки видимости, которые отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой. Эти точки бывает возможно определить без дополнительных построений в тех случаях, когда одна из поверхностей занимает проецирующее положение. Характерные точки определяют границы, в которых располагается проекция линии пересечения, что ограничивает район поиска промежуточных точек линии пересечения.

Приступая к построению линии пересечения поверхностей вращения, следует выделить случай, когда одна из пересекающихся поверхностей занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций. Если этого нет, то можно попытаться применить один из способов преобразования проекций, чтобы добиться такого положения.

Взаимное пересечение поверхностей. Основ ной способ построения линии пересечения поверхностей — способ вспомогательных секущих поверхностей (плоскостей). Он аналогичен построению линии пересечений двух плоскостейобщего положения, рассмотренному ранее. Сущность этого способа заключается в том, что обе заданные поверхности пересекаются вспомогательной третьейповерхностью (обычно плоскостью или сферой), затем строятся линии пересечения первой заданной поверхности с третьей, второй заданной пов ерхности стретьей и в пересечении этих линий отмечаются точки, принадлежащие как первой, так и второй заданным поверхностям, то есть точки, принадлежащие линииих пересечения.

Вспомогательные секущие поверхности выбираем в зависимости от:

- условия задачи,

- вида пересекающихся поверхностей,

-расположения пересек ающихся поверхностей относительно плоскостей проекций.

Положение вспомогательных секущих поверхностей выбирают так, чтобы

они пересек али заданны е поверхности по графически простым линиям — прямым или окружностям.

Построения выполняют в такой последовательности (рис.8): 1) проводят

вспомогательную проецирующую плоскость S, пересекающую заданные по-

верхности; 2) строят линии 1 — 2 и 3 — 4 пересечения вспомогательной пло-

скости с заданными поверхностями Σ и Ф; 3) определяют точку К пересечения вспомогательных линий 1 — 2 и 3 — 4.

Рис.8. Взаимное пересечение криволинейных поверхностей

Поскольку точка К одновременно принадлежит обеим вспомогательным

линиям и, следовательно, пересекающимся поверхностям, то она является точкой, принадлежащей искомой линии пересечения. Проведя несколько вспомогательных секущих плоскостей, получим ряд точек линии пересечения. Их следует соединить плавной кривой в определенной последовательности. Проекции линии пересечения должны располагаться в пределах очерков к ак одной, так и другой поверхности одновременно.

Построение линии пересечения поверхностей начинают с определения ха-

рактерных ее точек — экстремальных (высшей и низшей) и точек видимости, отделяющих видимую часть линии пересечения от невидимой. Приступая к построению линии пересечения поверхностей, следует выделить более простойслучай, когда одна из пересек ающихся поверхностей занимает проецирующееположение относительно плоскости проекций и решение задачи упрощается.

Пример 2. Построить линию пересечения поверхностей вращения на примере пересечения двух цилиндров.

Решение. Анализ эпюра показывает, что поверхность одного цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а другого - профильной. Значит, на этих плоскостях проекций мы уже имеем готовые проекции линии пересечения цилиндров.

Определим характерные точки линии пересечения. На горизонтальной проекции точка а – высшая, а точки с и d – низшие, точка b – крайняя левая, точка е – крайняя правая. На профильной проекции линии пересечения точка а^// и симметричная ей точка – крайние левые, точки с^// и d^// - крайние правые, точка m^// – крайняя верхняя, точка n^// – крайняя нижняя.

По двум проекциям точек строятся фронтальные проекции точек – а^/, m^/, b^/, c^/, d^/, e^/, n^/. Проекции точек b^/ и e^/ являются точками видимости.

Фронтальные проекции характерных точек определяют границы размещения проекции линии пересечения цилиндров. Очевидно, что промежуточные точки линии пересечения будут располагаться между ними. Это ограничивает зону поиска промежуточных точек.

Для построения промежуточных точек линии пересечения применяют вспомогательные секущие плоскости-посредники. Эти вспомогательные плоскости стараются провести так, чтобы они пересекали обе поверхности по прямым линиям или по окружностям. В данном случае проведём одну вспомогательную секущую фронтально проецирующую плоскость Т между точками m^/ и a^/, а вторую – Q – между точками b^/ и c^/.

Чтобы не загромождать эпюр линиями проекционной связи, ограничимся построением одной четверти линии пересечения от точки А до точки С, так как вследствие симметрии построение других участков линии пересечения будет аналогичным.

Итак, плоскость Т пересекает отрезок a^/m^/ в точке 1^/. При помощи линий проекционной связи легко определить положение горизонтальной проекции точки 1 на отрезке am, а затем и фронтальную проекцию – 1^/’. Плоскость Q пересекает отрезок b^/с^/ в точке 2^/, а положение горизонтальной 2 и фронтальной 2^/ проекций точки определяются с помощью линий проекционной связи.

Если построенных промежуточных точек недостаточно, чтобы выявить форму линии пересечения, то строят необходимое количество вспомогательных плоскостей и получают дополнительные промежуточные точки линии пересечения.

Построенные точки линии пересечения соединяем плавной кривой линией а^/1^/m^/b^/2^/с^/, которая составляет четверть полной линии пересечения двух цилиндров. Остаётся достроить остальные участки линии пересечения, что просто сделать вследствие их симметрии.

В заключение определяется видимость линии пересечения. Отрезок b^/2^/c^/k^/ и симметричный ему отрезок видимы и выполняются сплошной основной линией, а другие два невидимы и выполняются штриховыми линиями.

Выбор вспомогательных секущих плоскостей оказался правильным. Плоскости Т и Q рассекали поверхность одного цилиндра по окружностям, а другого по образующим, что облегчило определение точек линии пересечения цилиндров.

Построение линий пересечения других поверхностей вращения производится в такой же последовательности.