Построение линии пересечения тел вращения и многогранников.

Взаимное пересечение многогранных и кривых поверхностей. Многогран-

ная и кривая поверхности пересекаются по ломанным кривым линиям, звенья

которых (плоские кривые) – линии пересечения граней многогранной пов ерхности с кривой поверхностью, а точки излома – точки встречи ребер многогранника с кривой поверхностью. Решение задач на построение проекций линий пересечения многогранной поверхности и кривой и сводится к построению проекций точек встречи ребер многогранник а и проекций линии пересечения граней его с кривой поверхностью.

Пример 3. Построить линию пересечения трёхгранной призмы АВС с конусом вращения.

Решение. Чтобы выбрать оптимальный путь решения задачи, проведём анализ взаимного положения пересекающихся поверхностей. Боковые грани призмы являются фронтально проецирующими плоскостями. Следовательно, на фронтальной плоскости проекций уже имеется фронтальная проекция линии пересечения конуса и призмы а^/b^/с^/. Остаётся построить горизонтальную проекцию линии пересечения.

Рис. к примеру 3. Взаимное пересечение конуса и пирамиды

Анализ положения боковых граней призмы показывает, что грань 12 параллельна основанию конуса и перпендикулярна оси конуса, грань 32 параллельна образующей конуса, а грань 13 расположена наклонно к оси конуса. Из этого следует, что грань 12 пересекает поверхность конуса по окружности, грань32 – по параболе, а грань 13 – по эллипсу. Построить эти кривые линии проще, чем произвольную кривую линию пересечения.

Начнём построение горизонтальной проекции линии пересечения с определения точек пересечения рёбер призмы с поверхностью конуса. Это задача на пересечение прямой линии с поверхностью. Через ребро 3 проведём вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Ф, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция линии пересечения поверхности конуса этой плоскостью изобразится окружностью ф. Точки пересечения окружности ф с горизонтальной проекцией ребра 3, в частности, точка b будут являться точками пересечения ребра 3 с поверхностью конуса.

Аналогично, построением вспомогательной плоскости Т, проходящей через грань 12, определяем точки пересечения рёбер 1 и 2 с поверхностью конуса – точки а и с, и одновременно линию пересечения грани 12 с поверхностью конуса – линию ас. Так же определяется и симметричный отрезок линии пересечения.

Плоскость грани 32 пересекает поверхность конуса по параболе. Вершина параболы лежит в точке М (проекции – m’ и m). Точки b и с принадлежат параболе. Ещё одна точка параболы находится на пересечении грани 32 с основанием конуса – точка f. По этим точкам уже можно построить параболу. Но если имеющихся точек недостаточно, то можно провести ещё ряд вспомогательных секущих плоскостей, таких, например, как плоскость Q, и определить дополнительное количество недостающих точек - е и т.д., принадлежащих параболе. Остаётся соединить точки b е с плавной кривой и получить горизонтальную проекцию линии пересечения грани 32 с поверхностью конуса. Симметричный отрезок линии пересечения строится аналогично.

Линия пересечения грани 13 с поверхностью конуса представляет собой эллипс. Для построения эллипса достаточно знать размеры его осей. Плоскость грани 13 пересекает образующие конуса на фронтальной плоскости проекций в точках 4^/ и 5^/. Отрезок 4^/5^/ является большой осью эллипса. Его проекцию легко построить на горизонтальной плоскости проекций. Для определения размера малой оси эллипса найдём середину большой оси – точку k^/ - и её горизонтальную проекцию. Через точку k^/, представляющую фронтальную проекцию малой оси эллипса, проведём вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Q, параллельно горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция линии пересечения плоскости Q, с поверхностью конуса представляет собой окружность q. Там, где эта окружность пересекается с линией проекционной связи k^/k, находятся концы малой оси эллипса – точки 6 и 7. Зная размеры осей эллипса, легко построить сам эллипс и отрезки линии пересечения грани 13 с конусом – отрезок а7b и симметричный ему отрезок.

Пересечение конуса с призмой полное, так как линия пересечения состоит из двух замкнутых линий.

В заключение определяется видимость линии пересечения. В данном случае отрезок ас и ему симметричный отрезок будут невидимыми и должны быть изображены штриховыми линиями, а остальные видимые отрезки – сплошной основной линией.

Таблица 2

№	Задание

Задания к разделу 2 «Инженерная графика»