Параллельные прямые

V*. Пусть а - произвольная прямая, а А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, $ не менее двух прямых, проходящих через т. А и не пересекающих прямую а.

Ясно, что в геометрии Лобачевского выполняются все теоремы, которые следуют из I-IV групп аксиом системы Гильберта: равенство треугольников, понятие углов и т.д., и т.п. Вплоть до теоремы Дедекинда. Разве что нельзя пользоваться евклидовой аксиомой параллельности.

Сначала изучим свойства, т.е. основные факты, сразу вытекающие из аксиом этой геометрии, а потом уже построим модель. Будем использовать те же базисные множества, которые называли точками прямыми и удовлетворяющие I-IV, V^*. Ограничимся плоскостью.

Для начала сразу заметим, что из V^* сразу следует, что если даны прямая а и т. А, не лежащая на ней, то $ бесконечно много прямых, проходящих через т. А и не пересекающих прямую а.

Прямая а целиком лежит внутри угла 1. Тогда никакая прямая, лежащая внутри углов 2 и 3, прямую а не пересекает (т.к. прямая делит плоскость на две полуплоскости).

Параллельные прямые

Среди всех прямых, проходящих через точку А и не пересекающих а, выделяют специальные прямые, которые называются параллельными. Будем считать, что наши прямые являются направленными, и обозначать их будем: AB (А предшествует B).

Опр 1. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые

1. не имеют общих точек

2. для любых точек. Р и Q, лежащих на АВ и CD, соответственно, любой внутренний луч угла QPВ пересекает QD. (пишут АВ//СD).

Замечание 1. Отсюда не следует, что AB//DC!

Замечание 2. Параллельность по Лобачевскому - это как бы предельное положение «не пересечения» прямых.

Оказывается, что имеет место признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и СD не имеют общих точек и существуют точки РÎ АВ и QÎ СD, такие, что любой внутренний луч угла QРВ пересекает луч QD, то АВ//СD (без доказательства).

А вот следующую теорему, выражающую корректность введенного понятия, мы все же докажем.

Теорема 2 (существования и единственности параллельных по Лобачевскому). (Самостоятельно (стр. 261-262). Сказать только идею). Пусть АВ - произвольная направленная прямая, а М - точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна направленная прямая СD, проходящая через т. М и параллельная прямой АВ.

Доказательство. Рассмотрим перпендикуляр MN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую МР ^ MN. Точки Р и В лежат по одну сторону от MN. Т.к. внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые МР и NВ не пересекаются, этот факт доказывается без V постулата). Точки отрезка NP разобьем на два класса К₁ и К₂.

К₁={X| XÎ NPÙ (лучМХ Ç лучNB¹ Æ }, K₂=NP\K₁. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) теоремы Дедекинда:

a) Ясно NÎ K₁, т. к. MNÇ AB¹ Æ, и PÎ K₂, т. к. MPÇ AB=Æ. Класс К₁ не пуст: Возьмем т. X₁ на NВ. Луч МX₁ пересекает NP (т.к. X₁ лежит внутри угла NМР и по разные стороны от NР с М) и содержит точки отличные от N. К₂ тоже содержит точки отличные от Р. Действительно, по V^* $ прямая МS₁ отличная от МР и не пересекающая AВ. Прямая МS₂, симметричная прямой МS₁ относительно МN тоже не пересекает АВ. Но одна из прямых МS₁ или МS₂ проходит внутри угла NМРÞ пересекает NР в точке YÎ К₂. Кроме того, К₁ È К₂ = NP, К₁Ç К₂=Æ.

b) Пусть хÎ К₁ х¹ N, YÎ K₂. Тогда х лежит между N и Y. Т.к. иначе Y лежит между N и Х и Þ NYÇ NB т.к. он внутренний луч угла NMXÞ YÎ K₁.

Тогда, по теореме Дедекинда, существует т. D, производящая это сечение. Докажем, что DÎ К₂. От противного: Пусть DÎ К₁, тогда луч МDÇ NB=D₁. Возьмем т. D₁^/: N-D₁-D₁^/, тогда луч МD₁^/Ç NP=D^/Þ D^/Î К₁ и D-D^/-P. Противоречит утверждению Th Дедекинда. Следовательно, DÎ К₂. Выберем теперь т. СÎ МD: С-М-D. Прямая СD//АВ.

Теперь единственность: Пусть С^/D^/ другая прямая, проходящая через т. М и параллельная АВ. Рассмотрим углы NMD и NМD^/ по df параллельных внутренние лучи этих углов пересекают NВ, сл -но МD и МD^/ лежат в той же полуплоскости с границей МN, что и NВ, но тогда либо МD - внутренний луч угла NМD^/, либо МD^/ вн. луч угла NМD. Тогда либо СD либо СD^/ пересекает АВ. Ч.т.д.