Теоретическое введение. Интерполяция – метод аналитического описания зависимости величин по имеющемуся набору значений этих величин

Интерполяция – метод аналитического описания зависимости величин по имеющемуся набору значений этих величин. Схожим по назначению является метод аппроксимации, однако отличием метода интерполяции от аппроксимации является полное совпадение вычисленной зависимости в узлах интерполяции.

Простейшим примером применения интерполяции является следующий: в дискретные моменты времени получены некоторые экспериментальные данные, необходимо по полученным данным определить зависимость измеренных величин (рис. 4.1).

Рис 4.1 пример интерполяции функции по 3 точкам

Основными методами интерполяции являются следующие:

1. Многочлен Лагранжа.

2. Интерполяционная формула Ньютона.

3. Линейная интерполяция.

4. Сплайны.

Во многих электротехнических задачах встречаются нелинейные зависимости, которые не позволяют выполнить аналитическое решение. В таких случаях прибегают к численным методам решения задач в совокупности с приближениями. Основные виды нелинейных зависимостей показаны на рис. 4.2

Рис. 4.2.(а) – ВАХ диода

Рис. 4.2.(б) – выходная и управляющая характеристики полевого транзистора

Рис. 4.2.(в) ВАХ тиристора

Рис 4.2 (г) обратная ВАХ диода

Рис 4.2 (д) ВАХ входная и выходная биполярного трпнзистора

Рис 4.2 (е) ВАХ симистора

В данной лабораторной работе мы используем в расчетах полином Лагранжа.

Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N< 20. При бό льших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N).

Полином Лагранжа находится в виде:

(4.1)

где базисные полиномы определяются по формуле:

(4.2)

обладают следующими свойствами:

· являются многочленами степени n

· l_i(x_i)=1

· l_i(x_i)=0 при j≠ i

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация L_i(x), может иметь степень не больше n, и L(x_i)=y_i

Например:

1. В результате эксперимента получили следующие данные (табл. 4.1):

Аблица 4.1

2. Вычислить напряжение коллектора при токе коллектора 0, 25mA.

3. Заполняем таблицу 4.2 в соответствии с правилами заполнения полинома Лагранжа.

Таблица 4.2

4. Согласно алгоритму (формула 4.2) поэтапно вычисляем значения полинома при x=0.25

5. Вычисляем значение функции, формула 4.1

6. Или, используя те же формулы, можно получить функцию в аналитической форме:

7. Подставляем в формулу 4.1, упрощаем с использованием функций MathCad, получаем:

f(x)=l₀(x)*f(x₀)+ l₁(x)*f(x₁)+ l₂(x)*f(x₂)+ l₃(x)*f(x₃)+ l₄(x)*f(x₄)+ l₅(x)*f(x₅)=

=119515.622119*x-1.04020483754e6*x²+4.2445551839e6*x³-8.24267134e6*x⁴+6157107*x⁵-5030.3729784

8. Программа:

Форма включает в себя компоненты: StringGrid, Edit, Lable, Button.

9. Код программы:

int n;

double lagx[1000];

double lagfx[1000];

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1:: Edit1Change(TObject *Sender)

{

StringGrid1-> ColCount=StrToInt(Edit1-> Text)+1;

//задаем количество столбцов в таблице

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1:: FormCreate(TObject *Sender)

{

StringGrid1-> Cells[0][0]='x'; //название строки

StringGrid1-> Cells[0][1]=" f(x)";

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1:: Button1Click(TObject *Sender)

{

double x, s, s0;

n=StrToInt(Edit1-> Text); //количество точек

x=StrToFloat(Edit2-> Text); //расчетное значение

s=0;

for (int i=0; i< n; i++)

{

lagx[i]=StrToFloat(StringGrid1-> Cells[i+1][0]);

lagfx[i]=StrToFloat(StringGrid1-> Cells[i+1][1]);

}

//считывание значение из таблицы в массив " х" и " f(x)"

for (int i=0; i< n; i++)

{

s0=1;

for (int j=0; j< n; j++)

{

if (i! =j) s0=s0*(x-lagx[j])/(lagx[i]-lagx[j]);

//формирование l(x)

}

s=s+lagfx[i]*s0; //вычисление значения функции

}

Edit3-> Text=FloatToStr(s);

}

Задание на лабораторную работу:

Согласно варианту (табл 4.3) написать программу в среде программирования «Borland C». Работа считается выполненной после проверки работоспособности программного кода.

Таблица 4.3

Контрольные вопросы:

1. Что такое интерполяция и для чего она применяется?

2. Основные методы интерполяции.

3. Что такое сплайн? Какие виды сплайнов вы знаете?

4. Основные виды нелинейностей, встречающиеся в электротехнических задачах.

5. Что такое интерполяционный многочлен Лагранжа?

6. Расскажите о выборе вида интерполяции в конкретных электротехнических задачах.