Расчет линейных электрических цепей постоянного тока методом контурных токов

Для расчета линейной электрической цепи постоянного тока используется два основных метода: метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

Рассмотрим линейную электрическую цепь постоянного тока, состоящую из трех контуров (см. рис. 5.1, где E1..3 – источники ЭДС, I1..3 – токи ветвей электрической цепи, R1, R2, R4, R5, R6 – активные сопротивления ветвей электрической цепи). Для каждого контура данной электрической цепи можно определить контурный ток (II, III, IIII), протекающий по всем ветвям контура, контурную (суммарную) ЭДС, а также контурное (суммарное) сопротивление. Между контурами располагаются ветви электрической цепи, обладающие активным сопротивлением, являющимся общим для двух контуров.

Согласно методу контурных токов система уравнений, описывающая электрическую цепь, может быть представлена в виде следующего матричного уравнения:

R _K I _K = E_K,

где I_k=(I₁, I₂…I_n) - матрица контурных токов; R _K – матрица контурных сопротивлений; E_K – матрица контурных ЭДС.

Рис. 5.1

Для пояснения принципа составления матрицы контурных сопротивлений, рассмотрим схему на рис. 5.1. В данном случае матрица R _K будет иметь следующий вид:

где R11, R22, R33 – суммарные контурные сопротивления соответствующих контуров; R12 = R21 – R13 = R31, R32 = R23 – смежные (общие) сопротивления 1-го и 2-го, 1-го и 3-го, а также 2-го и 3-го контуров, соответственно.

Знак перед смежными сопротивлениями в матрице R K определяется направлением контурных токов: если направление контурных токов в смежной ветви согласное, то знак «+», иначе – «–».

Рассчитаем сопротивления матрицы R _K для схемы на рис. 5.1:

R11 =R1+R2+R6= 20 (кОм) – суммарное сопротивление первого контура;

R22 = R4 + R6 = 7 (кОм) - суммарное сопротивление второго контура;

R33 = R2 + R4 + R5 = 25 (кОм) – суммарное сопротивление третьего контура;

R12 = R21 = R6 = 6 (кОм) – знак «+», потому что направление контурных токов I_I и I_II согласное;

R23 = R32 = R4 = 1 (кОм) – знак «+», потому что направление контурных токов I_II и I_III согласное;

R13 = R31 = -R2 = -4 (кОм)) – знак «–», потому что направление контурных токов I_I и I_III противоположное.

Таким образом, матрица контурных сопротивлений для схемы на рис. 5.1:

Матрица контурных ЭДС для схемы на рис. 5.1: E _K = (E_I, E_II, E_III), где E_I, E_II, E_III – контурные суммарные ЭДС.

Контурные ЭДС находятся следующим образом: производится обход ветвей соответствующего контура с суммированием ЭДС, сонаправленных с направлением контурного тока, и вычитанием ЭДС, направленных встречно контурному току.

Определим контурные ЭДС для схемы на рис. 5.1:

E_I = E1 – E2 = 10 – 6 = 4В; E_II = E3 = 20В; E_III = E2 = 6В; E _K = (4 20 6)

В итоге получаем матричное уравнение, описывающее состояние схемы на рис. 5.1, через контурные токи, контурные ЭДС и контурные сопротивления:

Данному матричному уравнению соответствует следующая система уравнений:

Токи ветвей электрической цепи находятся из контурных токов следующим способом. Если по ветви протекает только один контурный ток, то ток ветви по абсолютному значению равен контурному току. Знак тока ветви будет противоположным знаку контурного тока в случае их противоположной направленности, и знак тока ветви будет совпадать со знаком контурного тока в случае их согласной направленности.

Если по ветви протекает два контурных тока, то ток ветви будет равен сумме контурных токов, взятых со знаком «+». при согласном направлении с током ветви и со знаком «-». - при встречном направлении тока ветви.

Для рассматриваемой схемы токи ветвей можно определить из контурных токов следующим образом:

I1 = I_I, I2 = I_I – I_III, I3 = I_II, I4 = I_II + I_III, I5 = I_III, I6 = I_II + I_I.