Интерполяция сплайнами. Применяется при большом количестве узлов функции Sm(x) называется интерполяционным сплайном порядка m для ф-ии f(x) заданной таблицей

Применяется при большом количестве узлов функции Sm(x) называется интерполяционным сплайном порядка m для ф-ии f(x) заданной таблицей, если выполняются условия:

1) на каждом отрезке [x_i; x_i+1] (i=0, 1, …n-1) функция S(x) является многочленом порядка m

2) S(x)и её производные до (m-1) включительно непрерывны на отрезке [x₀; x_n]

3) S(x_i)=y₁ (i=0, 1, …, n)

Кубический сплайн можно представить в виде:

Где *

Из п.3 определения сплайна или формулы * найдём коэффициент a_i

Обозначим через (шаг таблицы) тогда можно получить равенство:

1

Из п.2 определения сплайна получим:

(i=0, 1, …, n-1)

Учитывая введённые обозначение дифференцируем формулу *

(i=2, …, n) 2

Из п.2 определения сплайна следовательно

(i=2, …, n) 3

Определим дополнительные условия:

т.е.

или

4

Первое ур-ие системы 4 формально совпадает с формулой 3 при i=0если ввести коэффициент C₀ =0

Совокупность равенств 1-4 образуют систему линейных уравнений.

Для построения сплайна необходимо:

1. Сначала находят набор коэффициентов {C_i}для чего в систему уравнений 1-4 преобразуют к виду:

2. Потом находят набор коэф. {d_i}

3. Потом находят набор коэф. {b₁}

4. коэф {a₁}известны

Найденные коэффициенты подставляют в формулу * и записывают весь сплайн.