Метод Рунге - Кутта.

Основная идея метода: В рабочих формулах нужно использовать саму функцию f(x; y) и на каждом шаге вычислять её значения в нескольких точках. Пусть дано диф. ур-ие по методу Эйлера выразим

. Т.к. для вычисления производной взяты 2 точки N_i и N_(i+1) то лучшим приближением правой части диф. ур-ия будет значение , тогда полученные ур-ия относительно можно решать, взяв в качестве начального приближения значения от метода эйлера получим:

, где

Формы метода Рунге-Кута 2-го порядка.

Чем выше порядок формул Рунге-Кута, тем более точное значение они дают. Наиболее распространёнными являются формулы 4-го порядка.

, где

Оценить погрешность можно с помощью метода двойного счёта

Допустим – точное решение уравнения , тогда для формул Рунге-Кута 4-ого порядка , где k -шаг, с которого вычислено приближённое значение, точно так же при решении с шагом получим:

= при достаточно малом шаге h и малой погрешности вычислений решение диф. ур-ия методом Рунге-Кута 4-ого порядка будет близким к точному.

Пусть при решении диф. ур-ия строится таблица с шагом h и аргументами для них находят соответствующие значения

Для тех же аргументов находят улучшенные приближения тогда для метода Эйлера

Для модификации метода Эйлера:

23.Методы минимизации функции одной переменной: метод Фибоначчи, метод золотого сечения.

Одно из важнейших направлений в проектировании и эксплуатации технологических процессов состоит в оптимизации (минимизации или максимизации) некоторой характеристики f(x). Функцию f(x) называют целевой функцией. Основное внимание уделяют минимизации целевой функции, так как максимизация сводится к минимизации с помощью введения новой целевой функции z(x) = - f(x). В случае, когда изменяется один скалярный параметр х, возникает задача одномерной минимизации, то есть f(x) — действительная функция одной переменной, определенная на множестве R.

Существуют различные постановки задачи минимизации:

- найти все точки локального минимума и отвечающие им значения функции;

- вычислить конкретную точку локального минимума или точку глобального минимума;

- найти минимальное значение целевой функции, независимо от того, в какой именно точке оно достигается.

Для того чтобы применить один из алгоритмов минимизации, следует предварительно найти отрезок [а, b], содержащий точку х* на котором она является единственной точкой локального минимума. Этот отрезок называется отрезком локализации точки х*.

Пусть f(x) — функция, определенная на отрезке [а, b]. Предположим, что на этом отрезке содержится единственная точка х* локального минимума функции f(x), причем функция строго убывает при х х* и строго возрастает при х х*. Такая функция называется унимодальной.

Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции f в точках x₁ х₂, …, x_n. Эти методы называются методами прямого поиска, а точки х, - пробными точками.

Пусть требуется найти приближение х * к точке минимума х* функции f, унимодальной на отрезке [а, b]. число пробных точек п заранее фиксируется и за приближение х* к точке минимума принимается одна из этих точек.

Метод деления отрезка пополам требует на каждой итерации вычисления двух новых значений функции. Наблюдения приводят к методам, требующим на каждой итерации (кроме первой) расчета лишь одного нового значения функции. Два наиболее известных среди них — методы Фибоначчи и золотого сечения.

Метод Фибоначчи. Метод Фибоначчи является оптимальным последовательным методом, т. е. методом, обеспечивающим максимальное сокращение отрезка локализации при заданном числе N вычислений функции. Этот метод основан на использовании чисел Фибоначчи F„, задаваемых рекуррентной формулой F_n = F_n-1 + F_n-2 (п 2) и начальными значениями F_o=1, F₁=1. Метод Фибоначчи состоит из N-1 шагов.

Метод золотого сечения. Из-за недостатков вместо метода Фибоначчи чаще используется почти столь же эффективный метод золотого сечения.

Золотым сечением отрезка называется такое разбиение отрезка на две неравные части, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка.

Золотое сечение отрезка [а, b] осуществляется каждой из двух симметрично расположенных относительно центра отрезка точек

,

Точка а осуществляет золотое сечение не только отрезка [а, b], но и отрезка [а, β ],

Точно так же точка β осуществляет золотое сечение не только отрезка [а, b], но и отрезка [а, b]. Этот факт используется в данном методе.

24.Методы минимизации функции одной переменной: оптимальный пассивный поиск, метод деления отрезка пополам.

Одно из важнейших направлений в проектировании и эксплуатации технологических процессов состоит в оптимизации (минимизации или максимизации) некоторой характеристики f(x). Функцию f(x) называют целевой функцией. Основное внимание уделяют минимизации целевой функции, так как максимизация сводится к минимизации с помощью введения новой целевой функции z(x) = - f(x). В случае, когда изменяется один скалярный параметр х, возникает задача одномерной минимизации, то есть f(x) — действительная функция одной переменной, определенная на множестве R.

Существуют различные постановки задачи минимизации:

- найти все точки локального минимума и отвечающие им значения функции;

- вычислить конкретную точку локального минимума или точку глобального минимума;

- найти минимальное значение целевой функции, независимо от того, в какой именно точке оно достигается.

Для того чтобы применить один из алгоритмов минимизации, следует предварительно найти отрезок [а, b], содержащий точку х* на котором она является единственной точкой локального минимума. Этот отрезок называется отрезком локализации точки х*

Пусть f(x) — функция, определенная на отрезке [а, b]. Предположим, что на этом отрезке содержится единственная точка х* локального минимума функции f(x), причем функция строго убывает при х < х* и строго возрастает при х > х*. Такая функция называется унимодальной.

Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции/ в точках х₁ х_2, ..., х_п. Эти методы называются методами прямого поиска, а точки х_i - пробными точками.

Пусть требуется найти приближение х * к точке минимума х* функции f унимодальной на отрезке [а, b]; число пробных точек п заранее фиксируется и за приближение х* к точке минимума принимается одна из этих точек.

Оптимальный пассивный поиск. Метод, в котором задается правило вычисления сразу всех

пробных точек х₁ х_2, ..., х_п и за х* принимается та точка х^ для которой f(x_k) = min f(x_i)называется методом пассивною поиска. ^{1< i< N}

Если точки х₁ х_2, ..., х_п расположить на отрезке [а, b] равномерно в соответствии с формулой

, где то метод с таким выбором пробных точек называется оптимальным пассивным поиском.

Метод деления отрезка пополам. Пусть для решения поставленной задачи последовательно вычисляются значения функции f в n пробных точках х₁ х_2, ..., х_п причем для определения каждой из

точек x_k можно использовать информацию о значениях функции во всех предыдущих точках x_h х₂..........................................

x_k-1. Соответствующие методы называют методами последовательного поиска. Простейший из методов этого семейства — метод деления отрезка пополам. В нем используется принцип последовательного сокращения отрезка локализации. Оценить погрешность можно по формуле:

где - длина отрезка локализации на n-ном шаге,

параметр метода.

Вычисления с точностью до заданного е> 0 прекращают, как только выполнится неравенство