Редукция к задаче Коши для линейного ДУ второго порядка

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Найдем решение линейного дифференциального уравнения

где p(x), q(x), f(x) — непрерывные функции;

— заданные постоянные, причем

Из курса высшей математики известно, что если u = u (x) — частное решение соответствующего однородного уравнения

то произведение cu, где c – произвольная постоянная, есть общее решение этого уравнения. Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения (3.42) y = y (x) будет, равно сумме общего решения см однородного уравнения (17) и частного решения v = v (x) неоднородного уравнения

Таким образом, искомое решение запишем в виде комбинации

Потребуем, чтобы первое краевое условие (17) выполнялось для функции y при любом c. Для этого подставим выражение (19) в это краевое условие, в результате чего будем иметь

Такое условие возможно для произвольного c, если будут выполнены равенства

Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши для однородного уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18), а v есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (18) или (19). При этом для любого c функция (20) удовлетворяет первому краевому условию (18), т.е. при x = a.

Подберем теперь постоянную c так, чтобы функция (22) удовлетворяла второму краевому условию (20) при x = b. Будем иметь

1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.

Лекция 17. Модели многосвязных технических систем

Многосвязная техническая система может состоять из подсистем разной физической природы. Например, автомобиль включает в себя подсистемы питания, смазки, охлаждения, электроснабжения и др. Все эти подсистемы при функционировании тесно взаимодействуют друг с другом. Моделирование подобных систем удобно осуществлять на макроуровне. Для этой цели разработан универсальный аппарат с мощным программным обеспечением. Мы рассмотрим основные принципы моделирования систем на макроуровне, при этом будем использовать несколько устаревшие, но весьма наглядные условные обозначения элементов.

Каждый элемент технической системы выполняет вполне определенные функции. Математическое описание этой функции в форме аналитического выражения или в виде систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) образует математическую модель элемента. Переменные, которые фигурируют в математической модели и определяют в конечном итоге состояние или поведение элемента, принято называть переменными состояния или фазовыми переменными, а уравнения, устанавливающие связь между разнородными фазовыми переменными в пределах одного элемента – компонентными уравнениями.

Если обозначить фазовые переменные для i -го элемента через

то компонентное уравнение можно записать в виде

Для объединения элементов в ансамбль (рис. 1) для каждого узла сопряжения элементов должна быть установлена зависимость между однородными фазовыми переменными

тех элементов i, j,... системы, которые примыкают к данному узлу.

В общем случае техническая система может состоять из элементов разной физической природы, поэтому при объединении элементов в ансамбль могут встретиться большие трудности (при попытках установить связь между фазовыми переменными различных элементов). Такие трудности будут устранены, если для всех элементов системы использовать группы однородных фазовых переменных, имеющих одинаковое математическое описание вне зависимости от типа элемента и протекающих в нем процессов. А это значит, что фазовые переменные, входящие в уравнения типа (1), должны отражать фундаментальные закономерности, присущие всем элементам системы. Примером фундаментальных закономерностей являются энергетические принципы, которые мы и будем брать за основу при рассмотрении электрических, механических, тепловых, гидравлических и пневматических подсистем.

В каждой такой подсистеме энергия может быть представлена в форме совокупностей потенциальной V ипотоковой J дуальных переменных, а все многообразие элементов может быть сведено к простейшим элементам трех типов: С, L, R. На элементах С и L происходит накопление потенциальной (кинетической) энергии, а на элементе типа R – рассеивание (диссипация) энергии.

Моделирующий элемент может представлять собой (замешать) физическую единицу системы, либо отражать отдельные свойства такой единицы в форме математических образов. Поэтому при рассмотрении аналогий компонентных уравнений было бы правильно использовать понятие «компоненты», однако, в силу сложившихся традиций, мы будем называть замещающие двухполюсники элементами, имея в виду, что реальный элемент системы иногда может быть замещен двумя и более двухполюсниками.