Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Механическая интерпретация математического ожидания и дисперсии






    Пусть на прямой в точках расположены точечные массы , . В этом случае – центр тяжести, – момент инерции масс относительно центра тяжести. Таким образом, математическое ожидание характеризует место, вокруг которого группируются массы , а дисперсия – степень разбросанности этих масс около математического ожидания.

    В заключение этого пункта вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (здесь ):

       
    P q p

    ,

    , .

    Пример 2.1.17. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

    X      
    P 0, 1 0, 2 x

    Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: , , и .

    Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: . Отсюда . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

    ,

    ,

    ,

    .

    Ответ: , , , , .

    Пример 2.1.18. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения и , имеет математическое ожидание, равное 2, 2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

    Решение. Пусть . Тогда, согласно условию нормировки, . Используя определение математического ожидания, получим . Имеем уравнение , откуда находим . Ряд распределения имеет вид:

    X    
    P 0, 8 0, 2

    Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

    ; .

    Согласно определению функция распределения имеет вид

    Ответ: , ,

    Пример 2.1.19. Возможные значения случайной величины X таковы: , , . Известно, что , . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

    Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

    X      
    P

    Найдем вероятности , и , соответствующие возможным значениям X.

    По условию , поэтому имеем первое уравнение, связывающее , и : . Аналогично из условия получим второе уравнение: . Третье уравнение возникает из условия нормировки: . Итак, имеем систему:

    Решением системы, опуская промежуточные выкладки, являются следующие числа: , , .

    Ответ: ряд распределения имеет вид

    X      
    P 0, 2 0, 3 0, 5

    Пример 2.1.20. Плотность случайной величины X представлена на графике (рис. 2.1.7). Найти константу h. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти , математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

    Решение. 1) Найдем константу h из условия нормировки. Имеем уравнение , или, исходя из геометрического смысла интеграла, . Отсюда . Таким образом, функция плотности имеет вид:

    2) По определению .

    Пусть , тогда .

    Пусть , тогда .

    Пусть , тогда

    .

    Пусть , тогда .

    Таким образом, функция распределения :

    График функции распределения приведен на рис. 2.1.8.

    3) .

    4) По определению математического ожидания , поэтому:

    .

    По определению дисперсии , поэтому:

    .

    Ответ: , , , , .






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.