Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
|
|
43. Вихревое электрическое поле.
Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных проводниках {второй опыт Фарадея) Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла).
Циркуляция вектора напряженности 
этого поля
По определению поток вектора 
: 
, откуда следует:
Здесь и в дальнейшем мы используем частную производной по времени, поскольку в общем случае электрическое поле может быть неоднородным, и может зависеть не только от времени, но и от координат.
Таким образом, циркуляция вектора не равна нулю, т.е. электрическое поле , возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.
Суммарное электрическое поле складывается из электрического поля, создаваемого зарядами 
и вихревого электрического поля . Поскольку циркуляция равна нулю, то циркуляция суммарного поля:
Это — первое уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
44. Ток смещения.
Максвелл предположил, что аналогично магнитному полю и всякое изменение электрического поля вызывает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле (второе основное положение теории Максвелла).
Поскольку магнитное поле есть основной, обязательный признак всякого тока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц.
Надо сказать, что термин ток смещения не является удачным. Он имеет некоторое основание в случае диэлектриков, так как в них действительно смещаются заряды в атомах и молекулах. Однако понятие тока смещения применяется и для полей в вакууме, где никаких зарядов, а следовательно и никакого их смещения нет. Тем не менее этот термин сохранился в силу исторических традиций.
Плотность тока смещения:
Следует подчеркнуть, что ток смещения определяется производной вектора 
, но не самим вектором .Так например, в поле плоского конденсатора вектор всегда направлен от положительной пластины к отрицательной. Но в случае, если электрическое поле возрастает, то 
, а следовательно и ток смещения направлены так, как показано на рисунке (а). Если же электрическое поле убывает, то tа ктрическое поле положительной пластины к отрицательной. направлено от отрицательной пластины к положительной, и магнитное поле противоположно (рис. (б)) по сравнению с первым случаем.
Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри проводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри проводника имеется и ток проводимости, и ток смещения и магнитное поле проводника определяется суммой этих двух токов.
Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока
Полный ток всегда замкнут. На концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (или в вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.
Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.
Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора НЛ использовав полный ток:
Обобщенная теорема о циркуляции вектора 
представляет собой второе уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
45. Полная система уравнений Максвелла.
Третье уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля это теорема Гаусса для поля . Для заряда, непрерывно распределенного внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью ρ, это уравнение имеет вид:
Четвертое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса для поля :
Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме
;
;
Для того, чтобы эта система уравнений была полной ее необходимо дополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуждаются электрические и магнитные поля. Эти соотношения называются материальными соотношениями:
, 
, 
где 
и 
— соответственно электрическая и магнитная постоянные, 
и μ — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ — удельная проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла следует, что
— источниками электрического поля являются либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,
— магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями,
— переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.
Для стационарных полей (Е = const и В = const) уравнения Максвелла имеют вид
; 
; 
; 
;
В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поле.
Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса (см. стр.1-31):
По определению, дивергенцией и ротором векторного поля А в данной точке Л/ называют следующие производные по объёму:
где интегралы 
и 
есть, соответственно, скалярный и векторный потоки векторного поля через замкнутую поверхность S, которая окружает данную точку М, охватывая область с объёмом V.
Дивергенция есть мера источников поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то векторное поле в этой области свободно от источников. Те точки поля, в которых дивергенция положительна, называются источниками поля, а в которых отрицательна — стоками векторного поля
Используя теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.
Так, например, уравнение явно демонстрирует, что источниками электрического поля являются положительные электрические заряды, а стоками — отрицательные электрические заряды. Уравнение отражает тот факт, что не существует источников и стоков магнитного поля — " магнитных зарядов".
В случае если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.
Для того чтобы эти уравнения Максвелла в дифференциальной форме были справедливы и на границах сред, где величины, входящие в уравнения, меняются скачкообразно, необходимо дополнить эти уравнения граничными условиями, которым должно удовлетворять магнитное поле на границе раздела двух сред. Эти соотношения были рассмотрены ранее:
, 
, 
(первое и последнее уравнения выведены для случая, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).
Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике.
12. Электрический колебательный контур.
Электрическим колебательным контуром называется электрическая цепь состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L,
конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
По закону Ома для участка цепи
или
где q и 
, — заряд конденсатора и
разность потенциалов его обкладок в произвольный момент времени t; R — электрическое сопротивление колебательного контура; 
- ЭДС самоиндукции в катушке. Сила тока 
, поэтому дифференциальное уравнение колебаний заряда в колебательном контуре:
13. Стадии колебаний в идеализированном колебательном контуре.
Идеализированный колебательный контур — колебательный контур, у которого R - 0.
Пусть в начальный момент времени t=0 конденсатор заряжен зарядом q. Тогда энергия электрического поля между обкладками конденсатора 
. При замыкании конденсатора на катушку индуктивности, в контуре потечет возрастающий ток I. Энергия электрического поля начнет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки 
будет
возрастать. Поскольку потерь в контуре нет (R-0), то полная энергия W=We+Wm сохраняется.
В момент времени 
(T-период колебаний), когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения.
Стадии колебаний в контуре можно сопоставить с аналогичными стадиями механических колебаний, например, математического маятника, который в момент времени t = 0 смещен из положения равновесия и имеет максимальную потенциальную энергию E = U max. В момент времени смещение маятника равно нулю, скорость — максимальна, и потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую энергию маятника Е = K max.
Начиная с момента времени , ток в контуре будет убывать, следовательно, магнитное поле катушки начнет ослабевать. Изменение магнитного поля вызовет индукционный ток, который, по правилу Ленца, будет иметь то же направление, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начинает перезаряжаться и к моменту времени 
заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума, ток в цепи прекратится, и энергия контура снова будет равна энергии электрического поля в конденсаторе.
Для маятника это будет соответствовать максимальному смещению в направлении, противоположном первоначальному, остановке маятника в крайнем положении (υ =0) и обратному превращению кинетической энергии в потенциальную.
Далее, все процессы в колебательном контуре будут протекать в обратном направлении и система к моменту времени t = Т придет в первоначальное состояние.
Таким образом, в колебательном контуре происходят периодические изменения заряда q на обкладках конденсатора и силы тока I. Эти электрические колебания сопровождаются превращением энергий электрического и магнитного полей.
Из сравнения электрических колебаний с механическими колебаниями, следует, что:
— энергия электрического поля конденсатора аналогична потенциальной энергии маятника,
— энергия магнитного поля катушки аналогична кинетической энергии маятника,
— сила тока в контуре аналогична скорости движения маятника,
— индуктивность L выполняет функцию массы,
— сопротивление R играет роль силы трения, действующей на маятник.
14. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре.
Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0.
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:
Заряд q совершает гармонические колебания по закону:
где < 7ти - амплитуда колебаний заряда с циклической частотой:
и периодом:
.
Эта формула называется — формула Томсона. Сила тока в колебательном контуре:
опережает по фазе колебания заряда q на π /2.
Здесь 
— амплитуда силы тока.
Разность потенциалов обкладок конденсатора 
также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q:
где 
амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока
,
Величина 
называется волновым сопротивлением колебательного контура.
26. Примеры свободных затухающих колебаний
Рассмотрим затухающие колебания различной физической природы:
1) механические колебания — пружинный маятник с массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F = —kх и силы трения 
(r —коэффициент сопротивления)
2) электромагнитные колебания — колебания в колебательном контуре состоящем из сопротивления R, индуктивности L и емкости С.
Будем сравнивать оба случая с дифференциальным уравнением cвободных затухающих колебаний линейной системы
решение которого имеет вид
| 1) пружинный маятник | 2) колебательный контур | |
| Колеблющаяся величина | Смещение относительно положения равновесия х | Заряд q |
| Дифференциальное уравнение колебаний | 
| 
|
| Частота незатухающих колебаний ω 0 | 
| 
|
| Коэффициент затухания δ | 
| 
|
Частота незатухающих колебаний 
| 
| 
|
| Добротность Q | 
| 
|
| закон колебаний | 
| 
|
27. Вынужденные колебания.
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону:
В случае механических колебаний таким фактором является вынуждающая cuлa 
. Закон движения для пружинного маятника будет иметь вид
В случае электрического колебательного контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя ЭДС или переменное напряжение U = Um cosω t. Уравнение колебаний в контуре будет иметь вид
В общем виде дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
Это уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его р ешение равно сумме общего решения 
однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать, частное решение имеет вид
где А и ω задаются формулами
Так для электромагнитных колебаний, если обозначить a — сдвиг по фазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, что решение дифференциального уравнения будет иметь вид 
,
где
|
|