Теорема о циркуляции вектора .

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру L называется следующий интеграл по этому контуру:

где

— элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура;

— составляющая вектора

в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода; α — угол между векторами

Теорема о циркуляции вектора

(закон полного магнитного поля в вакууме): циркуляция вектора

по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной

на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

где

— число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Замкнутый контур представим в виде окружности радиуса

. В каждой точке этой окружности вектор

одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности:

Сравним выражения для циркуляции векторов .

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляция вектора

электростатического поля всегда равна нулю. Такое поле является потенциальным. Циркуляция вектора

магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым или соленоидальным.

Соленоидом называется свернутый в спираль изолированный проводник по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков. Циркуляция вектора

по замкнутому контуру ABCDA. охватывающему все N витков, равна

На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции, следовательно В_i = 0. Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B = 0 (удалив участок СВ на бесконечность, где магнитное поле соленоида равно нулю, поскольку магнитное поле каждого витка соленоида уменьшается с расстоянием

). На участке DA контур совпадает с линией мапнитной индукции, внутри соленоида поле однородно (

), поэтому

Магнитная индукция (бесконечного) соленоида в вакууме:

Тороидом — называется кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.

Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является однородным.

Линии магнитной индукции, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены на оси тороида.

В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса г. По теореме о циркуляции

, где N —число витков тороида. Отсюда

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

где

— проекция вектора

на направление нормали

к площадке dS, α — угол между векторами

— вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали

к площадке.

Поток вектора

может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака

Поток вектора

связывают с контуром по которому течет ток. Положительное направление нормали к контуру связано с направлением тока по правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S:

Если поле однородно и перпендикулярно ему расположена плоская поверхность с площадью S, то

Единица магнитного потока — вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1Тл (1 Вб=1 Тл*м²).

22. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являются замкнутыми.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потоносцеплением Ψ этого контура.

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции.

Например, найдем потокосцепление самоиндукции соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ. Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен

. Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида равен:

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукци и этих двух контуров.

24. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Проводник длиной l (он может свободно перемещаться) с током I находится в однородном магнитном поле (см. рисунок). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка — из-за чертежа. Сила Ампера F=IBl.

Под ее действием проводник переместился из положения 1 в положение 2.

— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле;

— поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

25. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.

Магнитное поле направпено перпендикулярно плоскости рисунка — за чертеж. Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна сумме работ по перемещению проводников

, т.е.

При перемещении участка CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения (образуют с направлением перемещения острые углы), поэтому

> О

Силы, действующие на участок ABC контура, направлены против перемещения (образуют с направлением перемещения тупые углы), поэтому

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром (или на его потокосцепление).