Условия на границе раздела двух магнетиков

Рассмотрим связь между векторами и на границе раздела двух однородных магнетиков (магнитные проницаемости которых m₁ и m₂) при отсутствии на границе тока проводимости. Искомые условия, как и в случае диэлектрика, получим с помощью теоремы о циркуляции вектора и теоремы Остроградского – Гаусса для вектора .

На границе раздела двух магнетиков (см. рисунок 46) построим прямую цилиндрическую поверхность ничтожно малой высоты h, одно основание S₁ которой находится в первом магнетике, другое основание S₂ находится во втором. Оба основания одинаковы (S₁ = S₂ = S) и настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным. Так как магнитных зарядов нет, то правая часть выражения (25.3) равна нулю. Применим к этой поверхности теорему Остроградского – Гаусса (25.3).

Поток через основание S₁ равен В_1nS, где В_1n - проекция вектора в первом магнетике на нормаль . Аналогично поток через основание S₂ равен В_2nS, где В_2n - проекция вектора во втором магнетике на нормаль . Поток через боковую поверхность можно представить в виде В_nS_бок, где В_n – значение магнитной индукции, усредненное по всей боковой поверхности, S_бок – значение этой поверхности. Таким образом, можно записать

= В_1nS + В_2nS + В_nS_бок = 0. (37.1)

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, S_бок также будет стремиться к нулю. Поэтому в пределе соотношение (37.1) примет вид

В_1n = - В_2n.

Знаки проекций оказались разными вследствие того, что нормали и к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проецировать и на одну и ту же нормаль, получится условие

В_1n = В_2n, (37.2)

т.е. нормальные составляющие вектора оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела двух магнетиков.

Заменив согласно (30.10) проекции вектора проекциями вектора , умноженными на mm₀, получим соотношение

m₁m₀Н_1n = m₂m₀Н_2n,

из которого следует, что

. (37.3)

Возьмем небольшой прямоугольный контур со сторонами, параллельными границе раздела с пренебрежимо малой высотой b и такой длины a, чтобы в ее пределах напряженность поля в каждом магнетике можно было считать одинаковой. Контур частично проходит в первом магнетике, частично – во втором. Ось х проходит через середину стороны b (см. рисунок 47).

Пусть в магнетиках создано поле, напряженность которого в первом диэлектрике равна , а во втором - . Вследствие того, что циркуляция вектора по выбранному нами контуру должна быть равна нулю, то при указанном направлении обхода циркуляция вектора может быть представлена в виде

= Н_{1 х} × а - Н_{2 х} × а + Н _b × 2 b, (37.4)

где Н _b – среднее значение Н_l на перпендикулярных к границе участках контура.

Приравняв это выражение нулю, придем к соотношению

(Н_{2 х} - Н_{1 х} ) а = Н _b × 2 b.

В пределе при стремящейся к нулю высоте контура b получается равенство

Н_{1 х} = Н_{2 х} . (37.5)

Значения проекций векторов и на ось х берутся в непосредственной близости к границе магнетиков.

Соотношение (37.5) выполняется при произвольном выборе оси х; нужно лишь, чтобы эта ось лежала в плоскости раздела магнетиков. Из (37.5) следует, что при таком выборе оси х, при котором Н_{1 х} = 0, проекция вектора Н_{2 х} также будет равна нулю. Это означает, что векторы и в двух близких точках, взятых по разные стороны границы, лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела. Представим каждый из векторов и в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих:

= + ; = + . (37.6)

В соответствии с (37.5)

Н_1t = Н_2t, (37.7)

т.е. тангенциальные составляющие вектора оказываются одинаковой по обе стороны границы раздела. В (37.7) Н_1t и Н_2t - проекции векторов и на единичный вектор , направленный вдоль линии пересечения плоскости раздела магнетиков с плоскостью, в которой лежат вектора и .

Заменив, согласно (30.10), проекции вектора проекциями вектора , деленными на mm₀, получим из (37.7) соотношение

= . (37.8)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора () и тангенциальная составляющая вектора () изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а тангенциальная составляющая вектора () и нормальная составляющая вектора () претерпевают скачок.

Из полученных условий (37.2) - (37.8) для составляющих векторов и следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Как и в случае диэлектриков (см. § 2.10), можно найти закон преломления линий , а значит, и линий (рисунок 48):

,

откуда с учетом (37.2) и (37.8) получается закон преломления линий вектора магнитной индукции :

. (37.9)

Из этой формулы следует, что, входя в магнетик с большей магнитной проницаемостью, линии и удаляются от нормали. На преломлении линий вектора магнитной индукции основана магнитная защита. При внесении замкнутой железной оболочки (m > > 1) во внешнее магнитное поле линии этого поля будут концентрироваться (сгущаться) преимущественно в самой оболочке. В полости, охватываемой оболочкой, магнитное поле оказывается сильно ослабленным по сравнению с внешним полем. Этим пользуются для предохранения чувствительных приборов от внешних магнитных полей. Но полной защиты, как в случае электростатического поля, – нет.

Из сказанного ясно, что если конфигурация первоначального поля и форма тела таковы, что линии индукции не пересекают поверхность тела, то не будет и преломления линий индукции, и магнитное поле вне тела не будет изменяться при внесении тела. Так, например, если на прямой длинный провод с током надеть длинную железную трубу, коаксиально с проводом, то линии индукции, имеющие в этом случае вид концентрических окружностей, не будут пересекать ни внутреннюю, ни внешнюю поверхность трубы. Поэтому и магнитное поле во всем пространстве, кроме толщи самой трубы, будет таким же, как и до надевания трубы. В самом же теле трубы величина магнитной индукции увеличится в m раз (m - магнитная проницаемость железа).