Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Образ и ядро линейного оператора






     

    Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

    Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

    Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

    Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

    Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

    Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

    Пусть - матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

    .

    Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

    .

    Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

     

     

    Задачи

    1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

    Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

    2. 3.

    4.

     

    5. Доказать, что .

    Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

    6. . 7. . 8. .

     

    3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

     

    Рассмотрим линейный оператор А, действующий в - мерном пространстве Х.

    Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

    Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

    Если - матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения l и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

    1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

    .

    2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

    матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

    Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы - собственными векторами матрицы .

    Пример. Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

    1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

    .

    Отсюда собственное значение , его кратность .

    2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

    Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

    Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

     

    3.1.Оператор простой структуры.

    Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид

    ,

    где - собственные значения оператора. Очевидно, что верно и обратное: если в некотором базисе пространства Х матрица оператора имеет диагональный вид, то базис состоит из собственных векторов оператора.

    Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов. Так как собственные векторы есть решения системы уравнений то, следовательно, каждому корню характеристического уравнения кратности , должна соответствовать матрица ранга .

    Всякая матрица размера , соответствующая оператору простой структуры, подобна диагональной матрице

    ,

    где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).

    Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду

    .

    Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

    Откуда собственные значения кратности и кратности .

    Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются

     

    решением системы

    Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор .

    Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений

    ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,

    , , .

    Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид

    и связь между подобными матрицами и определяется соотношением

    = .

     

    Задачи

    Найти собственные векторы и собственные значения

    линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

    1. 2. 3.

    4. 5. 6.

    Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

    7. 8. 9.

    10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

    11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в , имеет n различных значений, то любой линейный оператор В перестановочный с А, обладает базисом собственных векторов, причем любой собственный вектор А будет собственным и для В.

     

    ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

    Определение 1.. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора его образ также принадлежит .

    Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:

    1. Если и являются инвариантными подпространствами относительно оператора А, то их сумма и пересечение также инвариантны относительно оператора А.

    2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств и () и инвариантно относительно А, то матрица оператора в базисе, который является объединением базисов и есть блочная матрица

    ,

    где - квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.

    3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

    Пример 1. Рассмотрим ядро некоторого оператора А, действующего в Х. По определению . Пусть . Тогда , так как нулевой вектор содержится во всяком линейном подпространстве. Следовательно, ядро - инвариантное относительно А подпространство.

    Пример 2. Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей

    .

    Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А.

    Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А.

    Составим и решим характеристическое уравнение

     

    .

    Откуда собственные значения кратности и кратности . Первое собственное значение простое. Соответствующий ему собственный вектор определяется системой уравнений

    решая которую получим, например, .

    Собственные векторы для определяются уравнением

    ,

    имеющим два линейно независимых решения, например, и . Таким образом, в нашем случае существует базис из собственных векторов.

    Пусть теперь . Тогда вектор . Воспользовавшись теперь определением инвариантного подпространства, получим, что инвариантными будут следующие подпространства:

    1. Прямая с базисным вектором .

    2. Прямые с базисными векторами и .

    3. Линейная оболочка векторов , т.е. плоскость, задаваемая уравнением .

    4. Линейные оболочки векторов и .

    5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.

     

    Задачи

    1. Линейный оператор А задается в базисе

    матрицей

    .

    Показать, что линейная оболочка векторов и является подпространством инвариантным относительно оператора А.

    2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством.

    3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей

    .

    4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

    .

    5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .

    6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.