![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Образ и ядро линейного оператора
Определение 1. Образом Образ Определение 2. Ядром Ядро Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение Оператор А называется невырожденным, если его ядро Пусть
Поэтому координаты любого вектора
Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.
Задачи 1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе. Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами: Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок. — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта. — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы). — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание. SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение 2. 4.
5. Доказать, что Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами: 6.
3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Рассмотрим линейный оператор А, действующий в Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы. Если 1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения
2. Координаты всех матрица которой имеет ранг Корни характеристического уравнения Пример. Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей 1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:— Разгрузит мастера, специалиста или компанию; — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой; — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях; — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет; — Позволит записываться на групповые и персональные посещения; — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам; — Включает в себя сервис чаевых. Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе
Отсюда собственное значение 2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец
3.1.Оператор простой структуры. Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид
где Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению Всякая матрица
где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Откуда собственные значения Первое собственное значение
решением системы Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор Собственные векторы, соответствующие ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,
Таким образом, каждому собственному значению и связь между подобными матрицами
Задачи Найти собственные векторы и собственные значения линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами: 1. 4. Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу: 7. 10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы. 11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА Определение 1.. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями: 1. Если 2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств
где 3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Пример 1. Рассмотрим ядро Пример 2. Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей
Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А. Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А. Составим и решим характеристическое уравнение
Откуда собственные значения решая которую получим, например, Собственные векторы для
имеющим два линейно независимых решения, например, Пусть теперь 1. Прямая с базисным вектором 2. Прямые с базисными векторами 3. Линейная оболочка векторов 4. Линейные оболочки векторов 5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.
Задачи 1. Линейный оператор А задается в базисе матрицей
Показать, что линейная оболочка векторов 2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством. 3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей
4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами
5. Доказать, что любое подпространство 6. Пусть линейное преобразование А
|