Доказательство на основе понятия расстояния от вектора до подпространства

Рассмотрим матрицу, построенную на векторах = , = . Объем фигуры (параллелограмма), построенной на данных векторах определяется произведением модуля вектора (объемфигуры векторного подпространства R ₁ меньшей размерности) на высоту h (минимальное расстояние от вектора R ₁ до подпространства R ₁, образованного вектором .

В подпространстве R ₁ найдется такой вектор R ₁, которому соответствует разность - , модуль которой определяет высоту h. В свою очередь, вектор является, во-первых частью , = λ , а, во-вторых, проекцией на

Исходя из определения скалярного произведения можно записать

.

Отсюда

=

(7.4)

В последнем выражении второй сомножитель является единичным вектором, направленным вдоль вектора , и служит для преобразования скалярной величины (проекция) в векторную. Так как = λ , то

,

(7.5)

а квадрат расстояния от до подпространства, образованного вектором

.

(7.6)

При этом квадрат объема параллелепипеда

.

(7.7)

Подставляя координаты векторов, получаем

.

что и требовалось доказать. Доказательство идентичности детерминанта матрицы и объема параллелепипеда на пространстве большей размерности выполняется по индукции, но в силу громоздкости доказательства оно здесь не приводится.

Оптимальное значение коэффициента λ (7.5), соответствующее вектору можно получить, решая оптимизационную задачу.

Минимальное расстояние от вектора до подпространства R ₁ определяется параметром λ из условия h = | - λ , |, R ₁ . Поскольку модуль числа всегда положителен, то это эквивалентно . Дифференцируя данное выражение по λ и приравнивая результат к нулю, получаем

, что совпадает с (7.5).

Доказательство (7.7) на основе формулы площади параллелограмма

Высота h в параллелограмме определяется выражением . При этом

.

Отсюда , что совпадает с (7.7).