Линейные пространства.

Основные понятия многомерных нормированных линейных пространств определены в курсе математического анализа, поэтому в данной главе дано лишь краткое изложение результатов, которые будут использоваться в задачах решения СЛУ итерационными методами и при анализе методов решения систем нелинейных и дифференциальных уравнений.

Основные понятия и определения

Пространство - совокупность конечного или бесконечного числа элементов, связанных общностью свойств, структуры, функций и др.

Вектор. Элементы пространства называются векторами. Обычно под вектором мы понимает некоторый направленный отрезок. Здесь понятие вектора шире, но не противоречиво. Вектор произвольного пространства можно представить в виде направленной структуры. В частности, вектор- столбец чисел размерности n может быть представлен в виде направленного отрезка, координатами которого (проекциями на оси) являются числа столбца. Например, на рис. 7.1 представлен вектор . Вектора, как правило, представляются либо буквами со стрелкой сверху, либо полужирным шрифтом.

Рис. 7.1. Вектор

Линейное пространство R над полем P – это множество векторов, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число из поля P, замкнутое относительно этих операций (если , то ) и при наличии следующих свойств операций:

Коммутативность операций сложения и умножения на число: ` ; a =` a,

Дистрибутивность:

Ассоциативность:

Наличие общего элемента – нуля – Q:

Свойство умножения на единичный коэффициент, если a = 1, то a =

Если P – поле вещественных чисел, то пространство называется вещественным векторным пространством. Если же Р – поле комплексных чисел, то R называется комплексным линейным пространством.

Примеры:

· В₃ - множество всех векторов в трехмерном пространстве;

· R_n - упорядоченная совокупность n вещественных чисел (n-мерный вектор);

· множество C [ a, b ] – всех функции f(t), определенной на [ a, b ];

· множество P_n(t) всех алгебраических многочленов степени n;

· множество положительных вещественных чисел (здесь сумма векторов X+Y эквивалентна произведению чисел, а операция умножения вектора X на число λ эквивалентна возведению в степень λ).