Вводные замечания 2 страница

Принцип шагового формирования порядковой шкалы можно теперь записать в виде

Алгоритм измерения в порядковой шкале с шаговым формированием приведен на рис. 5.4.2.

Рис. 5.4.2. Алгоритм измерения в порядковой шкале с шаговым

формированием:

1 – неравенство; 2 – выполнено; 3 – не выполнено

Измерение в аддитивной непрерывной шкале является иерархически самым высоким. Аддитивную шкалу можно воспроизвести из первичных мер, при умножении и суммировании их значений можно сформировать произвольное значение шкалы , где – кратность мер (действительные числа); – численные значения эталонов.

Измеряемая аналоговая величина х перед сравнением с w подвергается в общем случае нормализации, состоящей в ее умножении на число и прибавлении эталонных значений на выходе устройства нормализации , где µ – коэффициент деления измеряемой величины; – кратность мер; – значения эталонов.

Сравниваемые величины w и у по своей природе непрерывны, однако в зависимости от способа их формирования они могут быть либо непрерывными (т.е. принимать любые численные значения), либо ступенчатыми (т.е. принимать только некоторые значения). Ступенчатое формирование имеет место в том случае, когда кратности мер могут принимать только целые значения.

Результат измерения в непрерывной аддитивной шкале имеет интервальную форму где х – истинное значение измеряемой величины; – оценка значения измеряемой величины; , – предельные погрешности измерения.

Алгоритм измерений в аддитивной развертывающейся шкале представлен на рис. 5.4.3, а.

Рис. 5.4.3. Алгоритмы измерения в аддитивной шкале (а) и аддитивной шкале с шаговым формированием (б)

Шаговое формирование заключается обычно в суммировании эталонных значений , кратных кванту : , где – целые числа, именуемые весами, такие, что из интервала (0, М) каждое целое число или 1.

В последовательных тактах формируются эталонные значения:

Измерение заканчивается в (m +1)-м такте, в котором

где значение удовлетворяет условию . Алгоритм измерения в аддитивной шкале с шаговым формирователем показан на рис. 5.4.3, б.

5.5. Моделирование цифровых алгоритмических измерений

Система АЦП – ЦП последовательно выпол­няет три измерительные процедуры: формирование сравнива­емых свойств (формирование шкалы метрологического коди­рования), сравнение свойств (построение алгоритма управля­ющей логики) и вычисление свойств (формирование цифровой измерительной шкалы и алгоритма счета).

Свойства конкретной структуры АЦП полностью определя­ются используемым набором шкал и алгоритмом сравнения входной величины с этим набором. Для того чтобы предложить рациональный набор шкал, не приводящий к избыточности, целесообразно разбиение всех возможных вариантов шкал с помощью отношения эквивалентности. На практике широко распространен метод поразрядного кодирования (метод после­довательных приближений), у которого в набор входит по одной шкале из каждого класса n классов эквивалентности. При этом каждая из шкал имеет только одно деление, которое можно рассматривать как меру (коди­рованный пункт шкалы).

Необходимо также учесть дополнительные требования:

1) равномерность шкалы, под которой понимается постоян­ство разности численных значений, соответствующих соседним делениям шкалы (цена деления шкалы);

2) линейность шкалы, т.е. наличие пропорциональности между мерами, образующими данное деление на шкале, и кодом, соответствующим этому делению;

3) диапазон измерения шкалы должен быть кратен степени от числа 2 ⁿ (амплитуда n -шкалы должна быть равна 2 ⁿ квантам).

Процедуры алгоритмического измерения можно выразить двумя уравнениями: в виде набора шкал

(5.5.1)

и как отображение через отношение эквивалентности

(5.5.2)

где – итерационный алгоритм вы­бора меры; – шаг алгоритма; – функция, принимающая значение 1 при х > 0, значение 0 при х = 0 и значение -1 при х < 0.

При использовании позиционного двоичного кода диапазон преобразования (в квантах) и цену деления шкалы (в квантах) соответственно определяют по формулам и .

Система АЦП – ЦП начинает функционировать после того, как в АЦП закончилось преобразование, т.е. после поступления на вход ЦП n -разрядного кода. Далее в ЦП осуществляется алгоритмическое измерение, которое можно выразить двумя соотношениями: в виде реляционной системы, моделирующей цифровую измерительную шкалу,

(5.5.3)

и как отображение через отношение эквивалентности, моделирующей вычислительный процесс,

(5.5.4)

Здесь Г – носитель цифровой шкалы (НЦШ) – полюсный или сигнальный граф; R_n – отношения и операции, определяющие алгебраическую структуру шкалы (АСШ).

В математической теории измерения широко используют операцию отображения множества, поскольку измерительный прибор есть устройство, отображающее множество возможных значений измеряемых величин в множество элементов шкалы прибора. Но, как известно, любое отображение порождает отношение эквивалентности. Именно так следует понимать формулы (5.5.2), (5.5.4). В (5.5.3), (5.5.4) все величины выражены в цифровом коде.

Рассмотрим отношение эквивалентности. В практике проектирования алгоритмов измерения широко используют арифметику по модулю М (mod M). Два числа а и b называют сравнимыми по mod M, если

a = b + kM или a = b (mod M),

где k – некоторое целое число; М – модуль.

Все целые числа сравнимы по mod M с каким-либо целым числом, принадлежащим конечному множеству 0, 1, 2,..., М -1, называемому множеством целых чисел по mod M. Эта арифметика кажется на первый взгляд необычной, но ею часто пользуются в повседневной жизни. Например, когда говорим о дне недели, то пользуемся арифметикой по mod 7, а при отсчете времени суток – арифметикой по mod 12 или по mod 24. В десятичной системе счисления дробная часть числа обозначена по mod 10. При М = 1 имеем полное отношение эквивалентности, состоящее из единственного класса, который совпадает с исходным множеством (любые два элемента эквивалентны, так как все целые числа делятся на 1).

Отношение а = b (mod 2) разбивает множество целых чисел на классы четных и нечетных чисел. Например, измерение в булевой шкале (рис. 5.4.1) проводится по mod 2.

Предельным случаем отношения эквивалентности является тождественное равенство. Единственный элемент, равный какому-либо данному элементу, есть этот самый элемент. Следовательно, имеем самое полное разбиение, при котором классы эквивалентности содержат только по одному элементу исходного множества. В этом последнем случае М ® ¥, т.е. числа приобретают значение величины. Классическая измерительная процедура, определяемая основным уравнением метрологии, относится к этому случаю.

Арифметика по mod M в общем случае рассматривает числа, не имеющие величины, т.е. цифры-символы. Не можем говорить, что одно число больше другого или что два числа близки друг к другу. Например, вторник может быть близок к среде и необязательно ей предшествует, если они относятся к разным неделям.Это значит, что понятия сравнимости и равенства не совпадают, за исключением случая, когда а и b меньше М. В последнем случае единственное число, кратное и меньшее М, может быть только нулем, поэтому а и b должны быть равны.

В последние годы рассматривались преобразования, основанные на теоретико-числовых концепциях и пригодные для быстрого вычисления конечной цифровой свертки без ошибок. Эти преобразования определены на конечных полях и кольцах целых чисел с арифметическими действиями, выполняемыми по модулю некоторого целого числа. Теоретико-числовые преобразования идеально подходят для цифровых алгоритмических измерений, так как квантование по амплитуде и дискретизация по времени входят непосредственно в их определения.

Рассмотрим специфику схемотехнической реализации измерительных шкал на примере цифро-аналогового преобразователя; его можно рассматривать как «инвертирующий усилитель» с программируемым цифровым входом (рис. 5.5.1, а), у которого усиление регулируется с помощью весовой системы резисторов. С учетом принятых на рисунке обозначений можно записать , где – опорное напряжение. Управление входным током осуществляется переключателями дискретно путем изменения величины (рис. 5.5.1, б), так что .

Рис. 5.5.1. Цифро-аналоговый преобразователь:

a – укрупненная электрическая схема; б – эквивалентная схема;

в – система одноразрядных шкал

Очевидно, что полная шкала ЦАП будет . Легко заметить, что если закрыт только ключ 1, то

бит 1=1 ;

бит 2 = 1 ;

бит N = 1 .

Так, для пятиразрядного ЦАП имеем пять шкал (рис. 5.5.1, в). В этом случае .

Или в общем случае , а , что соответствует коду на входе 1111...1

5.6. Эквивалентность между фильтрацией и алгоритмическим

измерением

Цифровые алгоритмические измерения используют аппаратурный прием при проектировании современной цифровой аппаратуры, поэтому для реализации алгоритмичес­кого измерения на сигнальном микропроцессоре необходимо спроектировать цифровую измерительную шкалу и организовать вычислительный процесс для проверки отношения эквивалентности.

Для построения теории необходимо учесть, что между алгоритмическим измерением и фильтрацией существует определенная эквивалентность. Про­иллюстрируем на примере спектрального анализа с привлече­нием математической процедуры отношения эквивалентности. Пусть S ₁ – множество сигналов с ограниченной энергией:

, (5.6.1)

тогда дискретное преобразование Фурье F_N: S ₁ ® S ₂есть отображение в другое множество функций с конечной энергией

, (5.6.2)

где – безразмерное время; – безразмерная час­тота; .Точность алгоритма измерения зависит от выполнения энергетического равенства (теорема Парсеваля)

. (5.6.3)

Отношение эквивалентности задается двумя соотношениями:

(5.6.4)

(5.6.5)

Поскольку в (5.6.4) функция метрологически кодирована по величине и по аргументу в системе АЦП – ЦП, отображение F_n: S ₁® S ₂можно рассматривать как метрологически коди­рованный вычислительный процесс измерения спектра сигнала. Поясним. Если система АЦП – ЦП программируется для спектрального анализа, то используется при программировании именно соотношение (5.6.4), поскольку система работает в масштабе времени и на вход этой системы подается аналоговый сигнал. Однако равноценно говорить об измерении в частотной или во временной областях. Следо­вательно, цифровую измерительную шкалу можно проекти­ровать как в частотной, так и во временной областях.

При цифровых алгоритмических измерениях удобно использовать цилиндрические шкалы на плоскости комплексной переменной . В этом случае под результатом измерения понимают точные или прибли­женные значения z -преобразования цифрового сигнала для заданных значений z. Если через полярный угол выразить , т.е. для каждой точки на окружности единич­ного радиуса, то найдем

(5.6.6)

Сравнивая (5.6.4) и (5.6.6), можно заметить, что спектральные коэффициенты дискретного преобразования Фурье временной последовательности конечной длины равны значениям z -преобразования этой же последовательности в точках, равномерно распределенных по единичной окружности.

Покажем, что измерение спектра в одной точке z = z ₁ эквивалентно фильтрации. Во многих приложениях, в частности, когда спектр сигнала меняется во времени, приходится измерять обобщенный спектр X_n (z ₁)для последовательных значений п, т.е. значения X ₀(z _l), X ₁(z ₁), X ₂(z ₁) и т.д. Такой способ измерения называют скользящим спектральным измерением. Оно обеспечи­вается за счет смещения на один отсчет вперед временного окна (содержащего N отсчетов) и повторения измерения. Практически при таких измерениях учитывают время вычисления и эффекты, обусловленные конечной длиной слова в регистрах памяти. С учетом сказанного обобщенный спектр сигнала

; (5.6.7)

(5.6.8)

где N – число отсчетов, по которым находят оценку спектра.

Анализ (5.6.7) и (5.6.8) показывает, что скользящее спектральное измерение в одной точке z = z ₁ эквивалентно фильтрации конечной импульсной характеристики фильтром с импульсной характеристикой вида

(5.6.9)

Чтобы найти спектр сразу во многих точках, равно­отстоящих на единичной окружности, можно использовать гребенку фильтров. Импульсную характеристику k -го фильтра, обеспечивающего измерение спектра в точке , запишем в виде

. (5.6.10)

В тех случаях, когда необходимо изменить форму АЧХ фильтра, чтобы, например, подавить нежелатель­ный шум и сигналы вне его полосы пропускания, вводят конечную весовую последовательность, на которую почленно умножается заданная последовательность, и, таким образом, получают новую временную шкалу.

5.7. Моделирование сигналов. Дискретизация

Аналоговый сигнал, поступающий на вход системы АЦП – ЦП, подлежит многократному преобразованию в такой после­довательности:

,

где – исходный аналоговый сигнал; – дискретизированный сигнал (по времени); – кван­тованный сигнал; х* – цифровой сигнал (дискретный по вре­мени и квантованный по уровню).

Такие преобразования связаны с определенными аппаратурными затратами и с разработкой соответствующего математического обеспечения. Поэтому, чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчетов, следует указать способ их математического описания или создать математическую модель анало­го-цифрового преобразования.

Выбор модели является первым шагом на пути к систе­матическому изучению явления. Математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. Существенным в подходе, базирующемся на понятии математической модели, является то, что возможно описывать именно те свойства сигналов, которые объективно выступают как наиболее важные, при этом игнорируется большое число второстепенных, малосущественных признаков, например в подавляющем большинстве случаев было бы крайне затруднительно подобрать точные функциональные зависимости, которые соответствовали бы электрическим ко­лебаниям, наблюдаемым экспериментально. Тем не менее разработчик, руководствуясь всей совокупностью сведений, которые ему доступны о системе в целом, выбирает из наличного арсенала математических моделей сигналов те, которые в конкретной ситуации наилучшим образом описывают физический процесс при наибольшей простоте. Выбор модели – процесс творческий.

Сигналы можно разделить на следующие виды: произвольные по значению и непрерывные по времени (рис. 5.7.1, а), произвольные по значению и дискретные по времени (рис. 5.7.1, б), квантованные по значению и непрерывные по времени (рис. 5.7.1, в), квантованные по значению и дискретные по времени (рис. 5.7.1, г).

Сигналы первого вида называют аналоговыми или непрерывными. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы непрерывности (момент ), то, чтобы избежать некорректности при описании, часто такие сигналы обозначают термином «континуальный сигнал».

На рис. 5.7.1, б представлен сигнал, заданный на дискретных значениях времени (на счетном множестве точек). Термин «дискретный» по времени характеризует не сам сигнал, а способ задания на временной оси.

Сигналы третьего вида (рис. 5.7.1, в) задают на всей временной оси, однако, сигнал может принимать лишь дискретные значения. В подобных случая говорят, что сигнал квантован по уровню.

Термин «дискретный» применяется только по отношению к дискретизации по времени; дискретность же по уровню обозначается термином «квантование».

Рис. 5.7.1. Классификация измерительных сигналов

Квантование используют при представлении сигналов в цифровой форме, с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни можно пронумеровать числами с конечным числом разрядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал (рис. 5.7.1, г) называется цифровым.

Каждому из перечисленных видов сигналов можно поставить в соответствие аналоговую, дискретную или цифровую цепь.

Перечисленные виды сигналов могут быть одномерными и многомерными, детерминированными и случайными. Приведенная классификация сигналов и цепей является достаточно удобной для использования соответствующих математических методов при описании математических моделей сигналов и цепей.

5.7.1. Модели дискретизации аналогового сигнала

В основе математического описания дискретизации непрерывных функций лежат два теоретических положения: фильтрующее свойство d-функции и теорема дискретизации.

Если сигнал дискретизируется с помощью переключателя, который периодически с интервалом Т замыкается на короткое время (рис. 5.7.2, а), на выходе такого дискретизатора образуется последовательность конечной длины. Для теоретических прило­жений удобно рассматривать идеальный дискретизатор, на выходе которого образуется последовательность импульсов (рис. 5.7.2, б), имеющих площадь , равную значению сигна­ла в моменты отсчетов t = 0, Т, …, nT. Этот процесс называют импульсной дискретизацией.

Рис. 5.7.2. Реальная (а) и идеальная (б) дискретизация

Идеальную дискретизацию можно сравнить с модуляцией с помощью несущей, когда «несущей» является непрерывная последовательность единичных импульсов, которую можно записать в виде последовательности d-функций

. (5.7.1)

Такую последовательность называют гребенкой Дирака, а в технических приложениях – импульсной функцией дискрети­зации.

Пусть задан сигнал x (t), имеющий спектр X (n). Осуществле­ние дискретизации x (t) с частотой F_S означает умножение функции x (t) на импульсную функцию дискретизации, исполня­ющую роль несущей, т.е.

, (5.7.2)

где – дискретизированный сигнал.

Если x (t) = 0, то модуляции нет, выходной сигнал отсутствует; если же x (t) – постоянная, то на выходе будет только несущая. Таким образом, импульсная дискретизация имеет те же свойства, что и модуляция с подавленной несущей, и выборки из сигнала x (t)являются весовыми коэффициен­тами d-функции. Рассматривая d-функцию как обобщен­ную функцию, найдем ее фурье-образ:

(5.7.3)

Отсюда получаем

. (5.7.4)

Как видно, фурье-образ гребенки Дирака есть также последовательность импульсов Дирака. Следовательно, дискре­тизацию можно проводить и по частоте.

Выясним структуру спектра дискретизированного сигнала . Представим (5.7.2) в виде

. (5.7.5)

Имея в виду формулу Пуассона

, (5.7.6)

получим,

(5.7.7)

Из (5.7.7) следует, что спектр дискретизированного сигнала представляет собой последовательность спектров Х (t)исходного сигнала x (t), сдвинутых один относительно другого на величину F_S.

Пусть фурье-образ для , т.е. спектр сигнал; x (t)расположен на интервале (-F _C, F _C) длиной 2 F _C. Тогда справедлива теорема дискретизации: для того чтобы периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией сигнала, не изменяло повторяемый спектр, необходимо и достаточно выполнение неравенства .

При решении практических задач дискретизации возникает ряд вопросов:

1) из каких соображений выбирать интервал дискретизации Т?

2) какова точность замены непрерывного сообщения дискретным?

3) каков максимально допустимый интервал дискретизации?

4) как передать по каналу связи дискретное сообщение и как его восстановить на приемном конце?

На все эти вопросы дает ответ более общая теорема дискретизации, сформулированная В.А. Котельниковым: если некоторая функция x (t) имеет спектр Фурье X (v), ограниченный полосой частот F _C, то эта функция может быть представлена с помощью дискретных отсчетов, взятых через интервалы времени, равные ; функция времени на интервале наблюдения Т _Сможет быт представлена с помощью п отсчетов, число которых .

На рис. 5.7.3 изображены функция времени x (t)и ее спектр с граничной частотой F _С.