Оптимизация

В предыдущих параграфах данного раздела были рассмотрены методы построения регрессионных моделей. Сейчас рассморим как использовать эти модели для оптимизации процессов или свойств многокомпонентных систем.

Следует иметь в виду, что качество процесса обычно характеризуется несколькими функциями отклика. Однако обычно невозможно найти такое сочетание значений влияющих факторов, при котором одновременно достигаются экстремумы всех интересующих экспериментатора функций отклика. Например, максимальная производительность оборудования и минимальная себестоимость продукции обычно достигаются при различных технологических режимах.

Важно отметить, что как влияющие факторы, так и функции отклика могут изменяться только в определенных пределах. Так, концентрации реагентов не могут быть отрицательными, температура и давление в аппарате не могут превышать безопасных пределов, себестоимость продукции должна быть не выше плановой и т.п. Следовательно, оптимизацию процессов, как правило, осуществляют в условиях ограничений на влияющие факторы и функции отклика. Величина, характеризующая уровень оптимизации процесса, называется критерием оптимальности.

Оптимизация процесса представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается экстремум критерия оптимальности (с учетом ограничений, наложенных на все влияющие факторы и функции отклика).

Д. Бокс и К. Уилсон предложили использовать для оптимизации результаты полного факторного эксперимента или эксперимента по методу дробных реплик. Сущность такой оптимизации состоит в следующем.

Пусть, например, критерием оптимальности служит функция отклика у, представленная в виде (4.6.11). Один из влияющих факторов принимают за базовый и для него вычисляют произведение соответствующего коэффициента регрессии на шаг варьирования. Например, для первого фактора это произведение имеет вид . Затем для базового фактора выбирают шаг движения , с которым будет осуществляться оптимизация. Обычно . После этого вычисляют отношение:

(4.10.1)

Для всех остальных факторов шаги движение к оптимальным значениям рассчитывают по формуле:

. (4.10.2)

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания уравнения регрессии. Значения факторов на каждом новом шаге находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу крутого восхождения (рис. 4.10.1).

Рис. 4.10.1. Оптимизация по методу крутого восхождения

Если же ищется минимум функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания .Такой способ оптимизации на­зывают методом наискорейшего спуска.

Движение к оптимуму прекращают в следующих случаях:

1. Значения (одного или нескольких) факторов или функций отклика вышли на границы допустимых значений.

2. Достигнут экстремум критерия оптимальности у.

В первом случае на этом оптимизация заканчивается, а во втором – в области экстремума функции у ищут ее новое математическое описание (добавив эффект взаимодействия факторов), используя полный факторный эксперимент или метод дробных реплик. Если удается получить адекватное описание этой функции в виде (4.6.11), то продолжают оптимизацию методом крутого восхождения (рис. 4.10.1).

Если же в области оптимума не удается получить адекватного уравнения регрессии вида (4.6.11), то переходят к планированию эксперимента для получения математического описания функции у в виде многочлена второй степени.

Пример 4.10.1. Пусть в результате полного факторного эксперимента (пример 4.6.1) получено адекватное уравнение регрессии

.

Здесь, как и в примере 4.6.1, – выход продукта реакции, – температура, x ₂ – концентрация реагента.

Введем также в рассмотрение функцию отклика у ₂, характеризующую скорость химической реакции (кмоль× м^–3× ч^–1). Пусть требуется, чтобы выполнялось условие .

Допустим, что ограничения на влияющие факторы имеют вид

Будем оптимизировать выход продукта реакции методом крутого восхождения.

В качестве базового фактора возьмем температуру и примемшаг движения на крутом восхождении 4°, тогда

Здесь взят по условиям полного факторного эксперимента (пример 4.6.1).

Шаг по концентрации на крутом восхождении равен

Для удобства ведения эксперимента шаги движения, рассчитанные по формуле (4.10.2), можно несколько округлять. В данном случае удобно принять .

Результаты опытов, выполненных по методу крутого восхождения, приведены в табл. 4.10.1. Здесь и – соответственно расчетные и экспериментальные значения выхода продукта реакции, – экспериментально найденные скорости реакции.

Шаги движения и координаты опытов крутого восхождения в кодированных переменных рассчитываются по формуле (4.5.3) с использованием физических переменных x ₁, х ₂ и шагов варьирования, принятых ранее в полном факторном эксперименте.

Как видно из табл. 4.10.1, в опыте № 4 достигнут максимальный выход продукта реакции, однако скорость процесса в этом случае меньше допустимого значения. Поэтому, оптимальным режимом процесса следует считать условия опыта № 3. Ограничения на x ₁, х ₂ в ходе оптимизации не нарушены.

Таблица 4.10.1

Результаты опытов по методу крутого восхождения

Характеристика и номер опыта
Центр плана………………...					35, 6	35, 1	2, 9
Интервал варьирования……					–	–	–
Шаг движения……………		–0, 5	0, 8	–0, 5	–	–	–
Крутое восхождение
Опыт №1…………………….		24, 5	0, 8	–0, 5	36, 5	36, 9	3, 2
№2………………….....		24, 0	1, 6	–1, 0	37, 4	37, 2	3, 7
№3…………………….		23, 5	2, 4	–1, 5	38, 2	38, 5	2, 8
№4…………………….		23, 0	3, 2	–2, 0	39, 1	40, 7	2, 3
№5…………………….		22, 5	4, 0	–2, 5	40, 0	38, 1	1, 9
№6…………………….		22, 0	4, 8	–3, 0	40, 9	37, 2	1, 6

Альтернативным методу крутого восхождения является симплексный метод. Симплексом называется правильный многогранник, имеющий п +1 вершину, где п – число факторов, влияющих на процесс. Так, если факторов два, то симплексом является правильный треугольник. Сущность симплекс­ного метода оптимизации иллюстрирует рис. 4.10.2.

Рис. 4.10.2. Оптимизация по симплексному методу

Начальная серия опытов соответствует вершинам исходного симплекса (точки 1, 2 и 3). Условия этих первых опытов берутся из области значений факторов, соответствующих наиболее благоприятным из известных режимов оптимизируемого процесса.

Сравнивая между собой результаты опытов в точках 1, 2 и 3, находят среди них самый «плохой», с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Пусть, например, самым «неудачным» оказался опыт в точке 1. Этот опыт исключают из рассмотрения, а вместо него в состав симплекса вводят опыт в точке 4, которая симметрична точке 1 относительно противоположной стороны треугольника, соединяющей точки 2 и 3.

Далее сравнивают между собой результаты опытов в вершинах нового симплекса, отбрасывают самый «неудачный» из них и переносят соответствующую вершину симплекса в точку 5. Затем рассмотренная процедура повторяется в течение всего процесса оптимизации.

Если достигнут экстремум критерия оптимальности, то дальнейшее движение симплекса прекращается. Это значит, что новый шаг возвращает исследователя в предыдущую точку факторного пространства.

Следует иметь в виду, что симплексный метод, так же как и метод крутого восхождения, является локальным методом поиска экстремума. Если существует несколько экстремумов критерия оптимальности, то этот метод позволяет найти тот из них, который расположен ближе к точкам исходного симплекса. Поэтому, если есть подозрение о существовании нескольких экстремумов критерия оптимальности, то нужно осуществить их поиск, каждый раз начиная оптимизацию из новой области факторного пространства. Затем следует сравнить между собой найденные оптимальные условия и из всех вариантов выбрать наилучший.

При оптимизации необходимо принимать во внимание ограничения, наложенные на влияющие факторы и функции отклика.

Важно отметить, что при пользовании симплексным методом не обязательно дублировать опыты. Дело в том, что ошибка в отдельном опыте может только несколько замедлить оптимизацию. Если же последующие опыты выполняются безупречно, то движение к оптимуму продолжается.

Матрица опытов исходного симплекса в кодированных переменных приведена в табл. 4.10.2. Символом «0» обозначены координаты центра плана, т.е. основной уровень.

Величины, входящие в эту таблицу, рассчитываются по следующим формулам:

(4.10.3)

(4.10.4)

где i – номер фактора в матрице планирования.

Таблица 4.10.2

Матрица исходного симплекса

Номер опыта			…			Функция отклика
			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…	…
n – 1			…
n			…
n + 1			…

Опыты, представленные в табл. 4.10.2, соответствуют вершинам симплекса, сторона которого равна единице, а центр совпадает с началом координат (в кодированных переменных).

Результаты расчетов, выполненных на основании табл. 4.10.2 и формул (4.10.3) и (4.10.4), приведены в табл. 4.10.3.

Аналогично можно рассчитать условия исходной серии опытов для большего количества факторов.

Очевидно, наибольшее количество опытов приходится ставить в начале эксперимента. Затем на каждом шаге оптимизаций выполняется только один опыт.

Таблица 4.10.3

Условия начальной серии опытов

Приступая к оптимизации, необходимо с помощью табл. 4.10.2 или 4.10.3 рассчитать матрицу исходной серии опытов в физических переменных, пользуясь формулой

, (4.10.5)

где использованы те же обозначения, что и в формуле (4.5.3). В дальнейшем все операции производятся только с физическими переменными.

Условия каждого нового опыта рассчитываются по формуле

, (4.10.6)

где n – число факторов в матрице планирования;

j – номер опыта;

i – номер фактора;

– натуральное значение i -гo фактора в самом «неудачном» опыте предыдущего симплекса.

Следует отметить, что на любом шаге оптимизации, осуществляемой симплексным методом, можно включить в программу исследований новый фактор, который до тех пор не принимался во внимание, но оставался на постоянном уровне. При этом значения всех ранее рассматриваемых факторов рассчитываются по формуле

, (4.10.7)

где i =1, 2,..., n, т.е. являются средними арифметическими значениями соответствующих координат предыдущего симплекса.

Значение вновь вводимого фактора определяется по формуле

, (4.10.8)

где – основной уровень этого фактора;

– выбранный шаг варьирования для данного фактора;

– величины, рассчитываемые по формулам (4.10.3) и (4.10.4).

Добавление нового фактора в состав полного факторного эксперимента сопровождается увеличением количества опытов вдвое. В этом смысле симплексный метод имеет очевидное преимущество.

В практику научных исследований симплексный метод был введен Ф. Химсвортом в 1962 г.

Пример 4.10.2. Пусть требуется с помощью симплексного метода оптимизировать выход целевого продукта у (%), который получается при взаимодействии двух реагентов с концентрациями x ₁ и х₂ (кмоль× м^–3) при температуре х ₃ (°С).

Выберем основные уровни и шаги варьирования факторов и сведем их в табл. 4.10.4.

Таблица 4.10.4

Значения уровней факторов и шагов варьирования

Пользуясь формулой (4.10.5) и табл. 4.10.3, рассчитаем условия проведения первых четырех опытов, полученные результаты сведем в табл. 4.10.5. Так, для третьего опыта

;

;

.

Здесь первый индекс обозначает номер опыта, а второй – номер фактора.

Таблица 4.10.5

Условия и результаты планирования по симплексному методу

Номер опыта				Функция отклика
	1, 05	1, 56		72, 3
	0, 95	1, 56		70, 1
	1, 00	1, 38		65, 4
	1, 00	1, 50		68, 2
	1, 00	1, 70		73, 9
	1, 00	1, 72		76, 5

Сравнивая между собой результаты первых четырех опытов, видим, что самый низкий выход целевого продукта получился в третьем опыте. Этот опыт следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

Заменим его опытом № 5, условия проведения которого рассчитаем по формуле (4.10.6):

;

;

.

В новом симплексе, образованном опытами № 1, 2, 4 и 5, самым «неудачным» является опыт № 4. Его заменим опытом № 6, условия которого найдем, пользуясь той же формулой (4.10.6).

Далее процедура оптимизации может быть продолжена аналогично.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как включить в программу исследований еще один фактор, например, скорость вращения мешалки. Пусть до этих пор она была постоянной и равной 500 об/мин. Теперь будем считать эту величину фактором и примем для нее шаг варьирования = 100 об/мин.

Предыдущий симплекс для трех факторов (табл. 4.10.5) состоит из опытов № 1, 2, 5 и 6. Чтобы из него получить новый симплекс для четырех факторов, введем опыт № 7 (табл. 4.10.6).

Условия проведения опыта № 7 найдем по формулам (4.10.7) и (4.10.8):

;

Таблица 4.10.6

Симплексный план эксперимента для четырех факторов

Номер опыта					Функция отклика
	1, 05	1, 56			72, 3
	0, 95	1, 56			70, 1
	1, 00	1, 70			73, 9
	1, 00	1, 72			76, 5
	1, 00	1, 64			78, 1

;

;

.

Далее оптимизацию можно продолжить с учетом всех четырех факторов, пользуясь рассмотренной выше процедурой.