РАЗДЕЛ 4 4 страница

Значение коэффициента соответствует складу данного фактора в размер выходного параметра при переходе фак­тора с нулевого уровня на верхний или нижний.

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Чтобы установить, значим коэффициент или нет, необходимо, прежде всего, вычислить оценку дисперсии, с которой он определяется:

(4.6.8)

Следует отметить, что с помощью полного факторного эксперимента все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью. Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие

, (4.6.9)

где – значение критерия Стьюдента.

В противном случае коэффициент регрессии незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения.

Получив уравнение регрессии, следует проверить его адекватность, т.е. способность достаточно хорошо описывать поверхность отклика. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера, который представляет собой следующее отношение:

, (4.6.10)

где – оценка дисперсии адекватности (4.3.7).

В числителе дроби (4.6.10) находится большая, а в знаменателе – меньшая из указанных оценок дисперсий.

Планируя эксперимент на первом этапе, обычно стремятся по­лучить линейную модель. Однако бывает так, что в вы­бранных интервалах варьирования процесс описывается нелинейной моделью.

Один из часто встречающихся видов нелинейности свя­зан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, т.е. существует эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет оценить эффект взаимодействия. Для этого необходимо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов.

При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обра­щаться так же как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 2² матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представлена в табл. 4.6.3.

Таблица 4.6.3

Номер опыта					у
	+1	-1	- 1	+ 1
	+1	+1	- 1	- 1
	+1	-1	+ 1	-1
	+1	+1	+ 1	+ 1

При добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц пла­нирования сохраняются.

С учетом эффекта взаимодействия математическая мо­дель при двух факторах запишется следующим образом:

. (4.6.11)

Коэффициент вычисляется как:

(4.6.12)

Столбцы х ₁и x ₂задают планирование – по ним непо­средственно определяются условия опытов, а столбцы x ₀и х ₁ х ₂ служат только для расчетов.

С ростом числа факторов число возможных взаимодей­ствий быстро увеличивается. Выше был рассмотрен самый про­стой случай – когда имелось одно взаимодействие. Рассмотрим теперь полный факторный эксперимент 2³.

Матрица планирования эксперимента 2³ с учетом всех возможных взаимодействий приведена в табл. 4.6.4.

Эффект взаимодействия определяется перемноже­нием трех столбцов , , и называется эффектом взаимо­действия второго порядка в отличие от эффектов взаимо­действия первого порядка , , .

Полное число всех возможных коэффициентов, включая a ₀, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента.

Ортогональность матрицы планирования позволяет по­лучать независимые друг от друга оценки коэффициентов. Это означает, что значение любого коэффициента не зависит от того, какие значения имеют другие коэффициенты.

Таблица 4.6.4

Номер опыта									у
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Эти утверждения справедливы лишь в том слу­чае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. В реальных условиях существен­ными могут оказаться коэффициенты при квадратах факто­ров, их кубах и т.д. Для случая существенных квадра­тичных членов в двухфакторном эксперименте модель мож­но записать следующим образом:

(4.6.13)

Построение вектор-столбцов для и в ма­трице планирования приводит к получению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцом a ₀.Так как эти столбцы неразличимы, то нельзя сказать, за счет чего получилось значение a ₀. Такая оценка a ₀ называ­ется смешанной и включает в себя значение свободного члена и вклады квадратичных членов. Это символически записывается следующим образом:

(4.6.14)

где a ₀ – вычисленный коэффициент, а греческими буква­ми обозначены неизвестные истинные значения свободно­го члена b₀ и квадратичных коэффициентов .

По отношению к квадратичной модели для двух факто­ров получается следующая система смешивания:

, , . (4.6.15)

Очевидно, что оценки всех коэффициентов, кроме a ₀, не смешаны. Таким образом, полный факторный эксперимент при варьировании факторов на двух уровнях позволяет оценить линейные эффекты и эффекты взаимодействия.

Пример 4.6.1. Рассмотрим процесс, в котором выход продукта реакции у (%) зависит от температуры реакционной смеси х ₁ (°С) и концентрации реагента х ₂ (%). Требуется с помощью полного факторного эксперимента найти математическое описание этого процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами х ₀₁ = 50 °С и х ₀₂ = 25%. Проведено по 2 параллельных опыта при одинаковых условиях.

Решение. Математическое описание рассматриваемого процесса будем искать в виде уравнения регрессии

,

где кодированные переменные связаны с температурой и концен­трацией следующими соотношениями:

, .

При проведении полного факторного эксперимента зададимся условиями, приведенными в табл. 4.6.1.

Таблица 4.6.1

Основные характеристики плана экспериментов

Характеристика
Основной уровень……………
Интервал варьирования………..
Верхний уровень……………….
Нижний уровень……………….

Матрица планирования и результаты полного факторного эксперимента представлены в табл. 4.6.2.

На основании результатов полного факторного эксперимента рассчитаем коэффициенты регрессии, пользуясь формулами (4.6.2) ÷ (4.6.4):

Таблица 4.6.2

Полный двухфакторный эксперимент

Номер опыта	x 1	x 2		, %		, %
	–1	–1			0, 50	35, 5
	+1	–1			0, 72	38, 7
	–1	+1			1, 28	32, 6
	+1	+1			0, 82	36, 2

Далее определяем оценку дисперсии среднего значения .

где – число параллельных опытов.

Оценки однородных дисперсий нескольких серий параллельных опытов можно усреднить и найти величину

называемую оценкой дисперсии воспроизводимости. С ней связано число степеней свободы .

На основании табл. 4.6.2:

Отсюда согласно (4.6.13) о ценку дисперсии среднего значения:

С ней также связано число степеней свободы .

Если при проведении эксперимента опыты дублируют и пользуются средними значениями функции отклика у, то при обработке экспериментальных данных следует использовать . В тех случаях, когда из-за недостатка времени, трудоемкости или высокой стоимости эксперимента опыты не дублируются, при обработке экспериментальных данных используют .

Примем также, что с этой величиной связаны 4 степени свободы.

Ошибку в определении коэффициентов регрессии вычислим по формуле

.

Пользуясь Приложением П.1 «Процентные точки распределения Стьюдента», находим, что для доверительной вероятности Р = 0, 95 () и 4 степеней свободы значение критерия Стьюдента t _α = 2, 776. Тогда

.

Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения:

Отсюда видно, что все коэффициенты регрессии значимы. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

.

Для проверки адекватности уравнения регрессии найдем расчетные значения функции отклика:

Вычислим оценку дисперсии адекватности (4.4.7):

,

где N – число опытов;

B – число коэффициентов регрессии искомой модели.

С ней связано число степеней свободы f = N – В = 4 – 3= 1. Расчетное значение критерия Фишера находим по формуле (4.4.6):

.

Оно не превосходит значения, приведенного в Приложении П.4. «Значения (верхние значения) и (нижние значения) для различных степеней свободы f ₁ и f ₂» (f ₁ = 4, f ₂ = 1, F = 225). Следовательно, уравнение регрессии адекватно.

4.7. Дробный факторный эксперимент

С увеличением количества факторов резко возрастает количество опытов полного факторного эксперимента. Однако для нахождения коэффициентов регрессии не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить – объем экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробных реплик. Очевидно, что при этом матрица планирования должна сохранить свои основ­ные четыре свойства.

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения математического описания процесса используется определенная часть полного факторного эксперимента: 1/2, 1/4 и т.д. Эти системы опытов называются дробными репликами.

Рассмотрим полный факторный экспе­римент 2². Матрица планирования приведена в табл. 4.7.1.

Таблица 4.7.1

Номер опыта					у
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1

Пользуясь таким планированием, можно вычислить, как было показано выше, четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде модели

(4.7.1)

Если имеются основания считать, что в выбранных ин­тервалах варьирования процесс может быть описан линей­ной моделью, то достаточно определить три коэффициента: , и . Остается одна степень свободы. Используем ее для минимизации числа опытов. При линейном приближе­нии и вектор-столбец можно использовать для нового фактора . Посмотрим, каковы будут оценки коэффициентов.

Оценки смешиваются в связи с тем, что вектор-столбец совпадает с вектор-столбцом , авектор-столбец с ; вектор-столбец с . Это легко проверить по матрице планирования, приведенной в табл. 4.7.1.

Таким образом, получим:

(4.7.2)

В связи с тем, что рассматривается линейная мо­дель, то все парные взаимодействия незна­чимы и можно полагать, что оценки , , достоверны.

Таким образом, вместо восьми опытов для изучения трех факторов оказывается достаточным по­ставить только четыре опыта. При этом матрица планиро­вания не теряет своих основных свойств (ортогональности, ротатабельности и т.п.).

Изложенное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, новому фактору необходимо при­своить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значения нового фактора в условиях опытов определяются знаками этого столбца.

Расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности математического описания в данном случае производятся так же, как и при полном факторном экспе­рименте.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, экспериментатор пользуется половиной полного факторного эксперимента 2³, или «полурепликой». Если х ₃приравнять к , то можно получить вторую половину матрицы 2³, В этом случае

(4.7.3)

При реализации обеих полуреплик можно получить раз­дельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаи­модействия, как и в полном факторном эксперименте 2³. Объединение этих двух полуреплик и есть полный фактор­ный эксперимент 2³.

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного пла­нирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования – четвертьрепликой от 2⁵. В последнем случае уже два линей­ных эффекта приравниваются к эффектам взаимодей­ствия.

Для обозначения дробных реплик, в которых С линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2 ^{k – c}. Так, полуреп­лика от 2⁶ запишется в виде 2^{6 – 1}, а четвертьреплика от 2⁵ – 2^{5 – 2} (табл. 4.7.2).

Таблица 4.7.2

В реальных условиях экспериментатор может не иметь твердой уверенности в отсутствии того или иного взаимодействия факторов. В этом случае необходимо знать, когда и какие эффекты определяются совместно, т.е. определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого используют понятия «определяющие контрасты» и «генерирующие соотношения».

При построении полуреплик 2^{3 – 1} существуют всего две возможности: приравнять х ₃ к х ₁ х ₂или к - х ₁ х ₂ (минус х ₁ х ₂). Поэтому есть только две полуреплики 2^{3 – 1} (табл. 4.7.3).

Таблица 4.7.3

Номер опыта	I
	-1	-1	+1	+1
	+1	-1	-1	+1
	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1
Номер опыта	II
	-1	-1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	-1	+1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняет­ся соотношение а матрицы II – - . Сим­волическое обозначение произведения столбцов, равного + 1 или -1, называется определяющим контрастом. Конт­раст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, обе части оп­ределяющего контраста следует умножить на столбец, со­ответствующий данному эффекту. Так, если , то для х ₁имеем: