РАЗДЕЛ 4 1 страница

ПЛАНИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Решение большинства проблем науки и техники связано с проведением сложных и дорогостоящих экспериментов. Отсюда понятно значение методов оптимального планирования эксперимента, позволяющих в ряде случаев существенно сократить затраты времени и материальных средств на выполнение исследовательских работ.

Долгое время порядок проведения эксперимента целиком определялся личным опытом и интуицией исследователей. Первые попытки применить математические методы для оптимального планирования эксперимента были сделаны английским математиком Р. Фишером в начале 20-х годов. Особенно быстрыми темпами теория планирования эксперимента стала развиваться после 1951 г. в связи с появлением работ Д. Бокса и К. Уилсона.

Методы оптимального планирования эксперимента позволяют использовать математический аппарат не только на стадии обработки результатов измерений, как было раньше, но также и при подготовке и проведении опытов. Деятельность исследователей, пользующихся этими методами, становится логически более упорядоченной.

Метод многофакторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки.

Под математическим описанием процесса будем понимать систему уравнений, связывающих функции отклика с влияющими факторами. В простейшем случае это может быть одно уравнение. Часто математическое описание называют математической моделью.

С помощью математических методов оптимального планирования эксперимента можно получить математическую модель процесса даже при отсутствии сведений о его механизме. Это в ряде случаев бывает очень полезно.

Ценность математического описания заключается в том, что оно:

– во-первых, дает информацию о влиянии факторов;

– во-вторых, позволяет количественно определить значения функций отклика при заданном режиме ведения процесса;

– в-третьих, может служить основой для оптимизации.

4.1. Задачи планирования эксперимента

Планирование эксперимента включает в себя вопросы, направленные на повышение эффективности научных и экспериментальных исследований. Правильно спланированный эксперимент позволяет значительно повысить качество исследовательского труда, сократить сроки проведения эксперимента, снизить затраты, повысить достоверность выводов по результатам исследования. Целью планирования эксперимента является выбор из множества возможных планов проведения эксперимента одного, в некотором смысле наилучшего. Необходимость сравнения различных планов требует использования кри­терия сравнения или целевой функции, которые дали бы основание утверждать, что один эксперимент или план эксперимента лучше или хуже другого.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий проведение хо­рошего и плохого экспериментов при решении одной и той же задачи. Пусть необходимо определить массы трех объ­ектов (а, b и с) с помощью некоторого массоизмерительного устройства. Традиционно экспериментатор стал бы взвешивать эти объекты по схеме, приведенной в табл. 4.1.1, где +1 означает наличие соответствующего объекта на весах, а -1 – его отсутствие.

Таблица 4.1.1

Сначала выполняется холостое взвешивание для опре­деления смещения нуля измерительного устройства, а за­тем по очереди взвешивается каждый из объектов. Масса каждого объекта оценивается по результатам двух опытов: того, в котором на весы был положен изучаемый объект и холостого, т.е.

Если положить, что случайные погрешности отдельных измерений независимы, дисперсию результатов взвешива­ния можно записать в следующем виде:

(4.1.1)

где – дисперсия каждого единичного измерения. Проведем тот же эксперимент по схеме, приведенной в табл. 4.1.2. Как и в предыдущем случае, в каждой строке таблицы заданы условия проведения одного опыта.

В первых трех опытах последовательно взвешиваются объекты а, b, с, а в последнем – все три объекта вместе. Легко установить, что масса каждого объекта должна вычисляться по формулам

Таблица 4.1.2

(4.1.2)

Числители в этих формулах получены путем умножения элементов последнего столбца на соответствующие эле­менты столбцов а, b, c. Найдем дисперсию погрешности взвешивания по новой схеме проведения эксперимента:

(4.1.3)

Аналогично находим

(4.1.4)

Очевидно, что при новой схеме взвешивания дисперсия результатов получается вдвое меньше, чем при традици­онном методе, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта. Необходимо от­метить, что второй план проведения эксперимента также исключает влияние смещения нуля массоизмерительной системы. Таким образом, используя в качестве критерия сравнения дисперсию случайной погрешности, можно ут­верждать, что второй план эксперимента лучше первого.

При традиционном взвешивании для того, чтобы полу­чить результаты с той же точностью, что и по новой схе­ме, необходимо либо повторить дважды все опыты, вдвое увеличив продолжительность эксперимента, либо применить другую измерительную аппаратуру, создающую вдвое мень­шую дисперсию, т.е. увеличить стоимость эксперимента.

Рассмотренный пример показывает, что эксперимент необходимо планировать, причем эффективность такого планирования обыч­но возрастает при увеличении числа измеряемых и варьи­руемых величин.

Основой теории планирования эксперимента является математическая статистика, которая применима для анали­за эксперимента в тех случаях, когда его результаты могут рассматриваться как случайные величины или случайные процессы, что практически всегда имеет место.

Целью эксперимента является получение ин­формации об исследуемом объекте, причем эксперименталь­ные данные могут накапливаться либо путем пассивного наблюдения, либо с помощью активного эксперимента. При пассивном наблюдении экспериментатор получает инфор­мацию в условиях нормального функционирования объекта исследования. В активном эксперименте осуществляется искусственное воздействие на объект по заранее сплани­рованной программе.

Активный эксперимент позволяет быстро вскрывать закономерности, находить оптимальные режимы функциони­рования объекта, но его обычно труднее осуществить. Вме­шательство в технологический процесс может привести к снижению производительности и выпуску бракованной продукции. Бывают ситуации, когда активный эксперимент вообще невозможен (например, в астрономических наблюдениях). Пре­имущества активного эксперимента, позволяющего приме­нять наиболее целесообразно составленные планы, доста­точно очевидны.

Объект исследования можно представить структурной схемой, приведенной на рис. 4.1.1, на которой показаны следующие группы параметров:

Рис. 4.1.1. Структурная схема объекта

1) управляющие (входные) x_j (j = 1, 2,..., k);

2) параметры состояния (выход­ные) у_r (r = 1, 2,..., u);

3) возмущающие воздействия w_l (l = 1, 2,..., р).

Управляющие параметры x_j пред­ставляют собой независимые перемен­ные, которые можно изменять с целью управления выходными параметрами объекта. К параметрам состояния у_r относится совокупность контролируе­мых или вычисляемых параметров, характеризующих со­стояние объекта. Возмущающие воздей­ствия w_l в общем случае не поддаются контролю и прояв­ляют себя как случайные величины или функции времени. Наличие возмущающих воздействий приводит к тому, что зависимость выходных параметров объекта от входных становится неоднозначной.

Одной из основных задач эксперимента является выявление взаимосвязей между входными и вы­ходными параметрами объекта и представление их в коли­чественной форме в виде математической модели. Такая модель является математическим отображением наиболее существенных взаимосвязей между параметрами объекта. Она представляет собой совокупность уравнений, условий и алгоритмических правил и позволяет получить информацию о процессах, протекающих в объекте, рассчитывать системы, т.е. анализировать и проектировать их, а также получить информацию, которая может быть использована для управления моделируемым объектом с целью поиска оптимальных условий.

Входные параметры, которые оказывают влияние на объект и могут быть измерены, называют факторами. Так, например, при исследовании измерительного преобразова­теля с целью получения его математической модели в каче­стве факторов могут выступать измеряемая величина, температура окружающей среды, напряжение питания и т.п.

Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента. Она может быть непрерывной или дискретной, причем при непрерывной области обычно производят ее искусствен­ную дискретизацию. Очевидно, что при планировании ак­тивного эксперимента факторы должны быть управляемы­ми и независимыми.

Каждую конкретную комбинацию факторов можно рас­сматривать как точку в многомерном факторном простран­стве. В многомерном факторном пространстве можно пост­роить область возможных комбинаций факторов, которую называют областью возможных (допустимых) планов экс­перимента.

При планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных условий в качестве единственной выходной величины рассматривается критерий оптимальности (целе­вая функция), зависящий от входных параметров объекта. Эту функцию рассматривают как отклик объекта на ука­занную комбинацию факторов и называют также функцией отклика. Геометрический образ в факторном пространстве, соответствующий функции отклика, называется поверхно­стью отклика.

В общем случае планирование и организация экспери­мента включают в себя следующие последовательно выпол­няемые этапы:

1) постановка задачи (определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и средств, установление типа задачи);

2) сбор априорной информации (изучение литературы, опрос специалистов и т.п.);

3) выбор способа решения и стратегии его реализации (установление типа модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление выходных параметров, выбор це­левых функций, создание необходимых нестандартных тех­нических средств, формулировка статистических задач, вы­бор или разработка алгоритмов и программ обработки экс­периментальных данных).

4.2. Пассивные эксперименты

При пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности воздействовать на изучаемый объект, поэто­му задача планирования эксперимента сводится к опти­мальной организации пассивного сбора информации и включает в себя такие вопросы, как выбор интервалов времени между моментами измерения, задание числа вы­полняемых измерений, выбор метода обработки экспери­ментальных данных и т.д.

Целью пассивного эксперимента часто является постро­ение математической модели объек­та. В зависимости от того, какая математическая модель является подходящей для описания того или иного объекта, последние разделя­ются на хорошо (детерминирован­ные) и плохо (диффузные) органи­зованные объекты. В хорошо орга­низованных объектах можно выде­лить определенные процессы, которые зави­сят от небольшого числа перемен­ных и которые поддаются изучению. Взаи­мосвязи входных и выходных пара­метров объекта в этом случае устанавливаются в виде де­терминированных функций.

В большинстве случаев экспериментатору приходится иметь дело с плохо организованными объектами, когда де­терминированные модели и методы становятся непригод­ными. В таких случаях необходимо использовать статисти­ческие модели и методы, представляющие собой логически обоснованные формализованные методы эксперименталь­ного исследования, когда экспериментатор сознательно от­казывается от детального изучения механизма всех процес­сов и явлений, протекающих в объекте.

При пассивном эксперименте исследователь имеет воз­можность получить путем измерений в различные дискретные моменты времени значения входных параметров x_j объекта и соответствующие им значения выходного пара­метра у. Как отмечалось выше, наличие случайных возму­щающих воздействий делает зависимость выходного па­раметра от входных неоднозначной.

Рассмотрим однофакторный эксперимент, при котором выполнено п пар измерений единственного входного пара­метра х и соответствующих значений выходного парамет­ра у. Результаты измерений изображены графически в виде точек на рис. 4.2.1. Учитывая случайный характер полученных экспериментальных данных, искомую аналити­ческую зависимость у от х можно рассматривать только как зависимость математического ожидания у от значения х. Такая зависимость называется регрессионной, а соот­ветствующая линия на графике (линия АВ) называется линией регрессии.

Целью эксперимента в данном случае является постро­ение регрессионной модели, представляющей собой приб­лиженную оценку истинной регрессионной зависимости. Важным вопросом является выбор вида регрессионной мо­дели, т.е. выбор вида функции, аппроксимирующей экспе­риментальные данные.

Рис. 4.2.1. График зависимости у от х

4.3. Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ предназначен для выявления степени влияния различных факторов на выходные характеристики при­боров, процессов и т.д.

Обычно принимают предположение о нормальном законе рас­пределения выходной характеристики при фиксированных уровнях факторов. Это распределение вызвано погрешностью измерений, влиянием неконтролируемых условий и т.д., оно проявляется при проведении серии опытов в «одной точке» – при каждом конкретном сочетании уровней факторов. Вторым предположением является однородность дисперсий в «различных точках» – при различных сочетаниях уровней факторов. Для удоб­ства сначала рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ, затем двухфакторный и трехфакторный.

В табл. 4.3.1 представлены в общем виде результаты однофакторного дисперсионного анализа. Испытания проводились на k уров­нях фактора А – 1, 2, 3,..., i,..., k. На каждом уровне было сделано определенное число опытов – 1, 2, 3,..., j,..., n_i и зафиксированы результаты x_{i j}.

Сначала для каждой партии испытаний вычисляют оценки сред­него значения и дисперсии и по формулам:

(4.3.1)

Затем проверяют однородность ряда дисперсий , ,..., ,..., по критерию Фишера. После подтверждения гипотезы об однородности этих дисперсий находят оценку общего среднего:

(4.3.2)

Таблица 4.3.1

Результаты однофакторного дисперсионного анализа

№ уровня фактора А (партии испытаний)	Результат испытаний	Число опытов n партии	Среднее значение партии	Дисперсия партии
	x 11, x 12, …, xij, …, x 1 n 1	n 1
	X 21, x 22, …, xij, …, x 2 n 1	n 2
…	…	…	…	…
i	xi 1, xi 2, …, xij, …, xin 1	ni
…	…	…	…	…
k	xk 1, xk 2, …, xk j, …, xk n 1	nk

Далее вычисляют следующие величины:

– дисперсию , характеризующую рассеивание по факторам, т.е. изменение величины Х (его среднего значения) при изменений уровня фактора А:

(4.3.3)

(число степеней свободы f = k – 1);

– дисперсию (остаточную), характеризующую рассеивание внут­ри партий:

(4.3.4)

для n_i = n

(4.3.5)

– полную (общую) дисперсию s ², отражающую общее рассеяние как внутри партий, так и за счет изменения уровня фактора:

(4.3.6)

для n_i = n

(4.4.7)

Для выяснения вопроса о том, сказывается ли влияние фактора А, или это влияние несущественно по сравнению с разбросом внут­ри партии, проверяют однородность дисперсий и при помощи критерия Фишера.

Если отношение окажется меньше табличного значе­ния , найденного для числа степеней свободы f ₁ и f ₂ и уровня значимости a, то влияние фактора несущественно, и все полученные результаты испытаний принадлежат одной генеральной совокуп­ности, распределенной нормально с параметрами s² и а. Их точеч­ные оценки равны соответственно и , а интервальные

(4.3.8)

где – коэффициент Стьюдента; он находится по таблице для коэффициентов Стьюдента для уровня значимости и степеней свободы. При этом

(4.3.9)

(4.3.10)

Значения z ₁и z ₂ находят по таблице «Значения z ₁ и z ₂ для границ доверительного интервала» по уровню a = 1-g и .

Если же справедливо соотношение

(4.3.11)

то влияние фактора существенно. Считается, что есть К нормально распределенных совокупностей, каждая из которых имеет дисперсию s² с разными средними значениями m _i. Точечной оценкой s² является s_n, а оценкой средних m _i – выборочные средние . Довери­тельные интервалы для m _i и s имеют вид:

(4.3.12)

(4.3.13)

(4.3.14)

В формулах (4.3.12) ÷ (4.3.14) .

Оценку дисперсии средних значений, вызванную влиянием ис­следуемого фактора, производят по формуле

(4.3.15)

Пример 4.3.1. Результаты испытаний при раз­личных уровнях фактора приведены в следующей таблице:

№ партии
	40, 32	0, 202
	41, 22	0, 196
	40, 31	0, 047
	40, 60	0, 219
	40, 00	0, 065
	40, 73	0, 201
	40, 54	0, 466
	40, 17	0, 076
	40, 26	0, 267
	40, 05	0, 534
	40, 38	0, 149
	39, 93	0, 494
	40, 84	0, 184
	40, 14	0, 426
	40, 60	0, 156
Сумма	606, 09	3, 682

В каждой партии проведено по 20 опы­тов. Проверку однородности дисперсий про­изводят по формуле:

По таблице «Значения G _{0, 01} (верхняя граница) и G _{0, 05} (нижняя граница) (Критерий Кохрена) для различных количеств (k)и объемов (n) выборки» для f = п –1 = 20–1 = 19 и k = 15 находим G _{0, 0l} = 0, 156 и G _{0, 05} = 0, 139. Значит, подтверждается гипотеза об однород­ности дисперсий для разных партий опытов.

Оценку генерального среднего произво­дят по формуле (4.3.2):

Затем рассчитываем дисперсии , и по формулам (4.3.3), (4.3.5) и (4.3.7):

.

Отношение дисперсий F равно:

.

Найденное по таблице «Значения (верхние значения) и (нижние значения) для различных степеней свободы f ₁ и f ₂» значение F _{0, 99} для числа степеней свободы f ₁ = 14 и f ₂ = 285 при a = 0, 01 составляет 2, 15. Так как F > F _{0, 99}, то влияние фактора А на дисперсию весьма существенно.

В завершении определяем генеральную дисперсию средних значений по фор­муле (4.3.15):

В двухфакторном и трехфакторном дисперсионном анализе для удобства вычислений считаем, что для каждой комбинации факторов используется одинаковое число испытаний п. Предположим, что исследуемая величина X в партиях распределена нормально и дисперсии для различных партий опытов однородны. Каждое из этих предположений подлежит проверке по экспериментальным данным перед проведением непосредственно дисперсионного анализа.

Результаты испытаний для двухфакторного анализа приведены в табл. 4.3.2. Один из факторов А имеет k уровней, другой B – m. При каждой комбинации уровней проводится п опытов. Сначала рассчитывают средние значения случайной величины X для каж­дой партии опытов:

Таблица 4.3.2

Результаты испытаний при двухфакторном анализе