Проверка соответствия гипотезы и экспериментальных

Данных

Задача проверки гипотез состоит в том, чтобы установить, противоречит выдвинутая гипотеза экспериментальным данным или нет. Так как результаты измерений со­провождаются погрешностями, то обычно они не могут с абсолютной достоверностью ни подтвердить, ни отвергнуть никакую гипотезу, т.е. всегда существует не равная нулю вероятность того, что принятое ре­шение ошибочно.

Алгоритм, в соответствии с которым экспериментальным данным ставится в соответствие решение принять или отвергнуть гипотезу, на­зывается решающим правилом, или правилом решения.

Предположим, что относительно некоторого параметра q распре­деления случайной величины х выдвинута гипотеза, заключающаяся в том, что его значение равно q = q₀. В результате измерений получена оценка этого параметра, на основе которой экспериментатор должен либо принять, либо отвергнуть выдвинутую гипотезу. Для этого необходимо ответить на вопрос: как сильно оценка должна отличаться от q₀, чтобы принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу?

При этом следует учитывать, что отличие оценки от значения q₀ может быть вызвано, во-первых, случайным характером оценки и, во-вторых, неравенством истинного значения q значению q₀. Таким образом, если отличие q от q₀ может быть объяснено чисто случайными причинами, то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае она отклоняется.

Пусть известна плотность распределения оценки . Изобразим ее графически (рис. 3.7.1), предполагая, что выдвинутая гипотеза q = q₀ верна, т.е. М [ ] = q₀. Установим две границы q₁ и q₂ и сформулируем следующее решающее правило: если q₁ £ £ q₂, то гипотеза принимается; если < q₁ или > q₂, то гипотеза отклоняется. При этом может быть принято ошибочное решение, причем вероятность ошибки равна

(3.7.1)

Рис. 3.7.1. Плотность распределения оценки

Вероятность ошибки a называется уровнем значимости и при расчетах принимается обычно равной 0, 05 или 0, 01.

Будем считать, что . Тогда для установления границ q₁ и q₂ достаточно задаваться только значением уровня значимости a и воспользоваться таблицами известного распределения .

Рассмотрим другой пример проверки гипотез. Пусть некото­рый параметр q распределения случайной величины может принимать только одно из двух значений: q₀ или q₁. На основании экспериментально полученной оценки необходимо решить, какое значение q имело место в эксперименте. Для этого необходимо проверить гипоте­зу q = q₀ против альтернативной гипотезы q = q₁. На рис. 3.7.2 изображена плотность распределения как при условии справедливости нулевой гипотезы М [ ] = q₀, так и при ус­ловии справедливости альтернативной гипотезы M [ ] = q₁.

Рис. 3.7.2. Плотность распределения оценки

Установим границу q_Г и сформулируем решающее правило: если £ q_Г, то принимается нулевая гипотеза q = q₀, если > q_Г, то принимается альтернативная гипотеза q = q₁.

Обозначим следующие вероятности:

При принятии решения в соответствии с указанным решающим правилом возможны четыре ситуации:

1. нулевая гипотеза верна, но отклоняется. При этом имеет место ошибка 1-го рода, вероятность которой равна a– уровню значи­мости;

2. альтернативная гипотеза верна, но отклоняется. При этом име­ет место ошибка 2-го рода, вероятность которой равна b;

3. нулевая гипотеза верна и принимается. Вероятность такого ис­хода равна 1-a;

4. альтернативная гипотеза верна и принимается. Вероятность этого равна 1-b и называется мощностью решающего правила.

Следует помнить, что решающее правило должно включать в себя критерий, по которому устанавливается граничное значение. В качестве такого критерия может, в частности, использоваться критерий максимального правдоподобия.

Пример 3.7.1. Случайная величина х распределена нормально. Необ­ходимо проверить гипотезу относительно значения ее математического ожидания. Выдвинутая гипотеза состоит в том, что = 6, 8. Выполнено n = 10 измерений, обработка результатов которых дала следующие оценки: 6, 5; S = 0, 5.

Решение. Как известно, величина распределена по за­кону Стьюдента с п – 1 степенями свободы. Поэтому условием приня­тия гипотезы будет выполнение неравенства

В случае невыполнения этого неравенства гипотеза отклоняется. Задаемся уровнем значимости a = 0, 05. Для вероятности 0, 025 и числа степеней свободы k = n -1 = 9 по таблице t -распределения находим t = 2, 262.

Вычисляем = 0, 3, 0, 377.

Так как указанное неравенство выполняется, то можно считать, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

Пример 3.7.2. При условиях, заданных в предыдущем примере, необ­ходимо проверить гипотезу, состоящую в том, что s² = = 0, 9.

Решение. Как известно, величина распределена по закону c² с n -1 степенями свободы. Поэтому условием принятия нулевой гипоте­зы будет выполнение неравенства

где и – значения величины c² (см. таблицу c²-распределения), соответству­ющие вероятностям и и числу степеней свободы . Задаемся уровнем значимости a = 0.05. Тогда при = 9 по таблицe c²-распределения находим = 19, 023 и = 2, 700. Таким образом, условием принятия нулевой гипотезы будет в данном случае

0, 131 < < 0, 926.

Так как это условие выполняется, то можно считать, что гипоте­за не противоречит экспериментальным данным.