Фурье коэффициенты

Можно показать, что функции образуют полный ортогональный набор на промежутке (0, 2π) в классе периодических функций с периодом T = 2π.

Для доказательства периодичности семейства функций с периодом 2π достаточно воспользоваться формулой Эйлера:

(1)

Тогда

(2)

где

Линейная комбинация периодических функций также представляет собой периодическую функцию.

Ортогональность функций проверяется непосредственно:

(3)

Одновременно установлено, что норма функций на промежутке (0, 2π) равна .

Таким образом, периодическая функция f (x) с периодом T = 2π допускает представление в виде ряда Фурье

(4)

коэффициенты которого определяются формулой

(5)

Разумеется, что для существования интеграла (5) необходимо выполнение определенных условий, которые принято называть условиями Дирихле, в соответствии с которыми предполагается, что

1. на любом конечном промежутке функция f (x) может иметь разве что конечное число точек разрыва первого рода;

2. на любом конечном промежутке функция f (x) может иметь разве что конечное число точек экстремума.

Рис. 1. Пример функции, удовлетворяющей условиям Дирихле и допускающей представление в виде ряда Фурье.

Заметим, что разрывные функции не допускают представлений в виде степенных рядов.