Закон распределения

Закон распределения – это соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Обычно задаётся в виде таблицы или формулы.

Каждое значение закона распределения определяет вероятность того, что дискретная случайная величина X принимает значение равное числу x, являющемуся одним из её возможных значений:

P (x) = P (X = x).

Закон распределения позволяет судить, насколько одно значение дискретной случайной величины более вероятно, чем другое. Для непрерывных случайных величин неприменим.

Сумма всех значений закона распределения равна единице.

Закон распределения содержит полную информацию о случайной величине.

Характеризуется математическим ожиданием, дисперсией и др.

Плотность распределения (плотность вероятности)

Плотность распределения позволяет судить, насколько одно значение непрерывной случайной величины более вероятно, чем другое.

По определению, плотность распределения – это предел отношения вероятности попадания в интервал к длине этого интервала при стремлении длины интервала к нулю.

Плотность распределения обладает следующими основными свойствами.

1) Функция p (x) ³ 0, поскольку по смыслу это отношение вероятности к длине.

2) Определённый интеграл от плотности распределения p (x) в бесконечных пределах равен 1. (Площадь под всей кривой плотности распределения равна 1.)

3) Вероятность попадания случайной величины X в интервал от x ₁ до x ₂ равна

P (x ₁£ X < x ₂) = .

Плотность распределения содержит полную информацию о случайной величине.

Характеризуется математическим ожиданием, дисперсией и др.

Математическое ожидание (среднее, среднее значение)

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины (теоретическое среднее). М.о. – одна из важнейших вероятностных характеристик случайной величины.

Буквенное обозначение математического ожидания случайной величины X: M (X).

Для дискретной случайной величины X математическое ожидание вычисляется как полная сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений:

M (X) = x ₁ × P (x ₁) + x ₂ × P (x ₂) + … + x_N × P (x_N) = ,

где N – число возможных значений случайной величины X.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание вычисляется как

M (X) =

Математическое ожидание для дискретной случайной величины численно равно абсциссе центра закона распределения, для непрерывной случайной величины – абсциссе центра плотности распределения.

Термином математическое ожидание M (X) обозначается не только вероятностная характеристика, но и так называемая операция усреднения, т.е. взвешенное суммирование с весами, равными значениям закона распределения P (x_i), или интегрирование с ядром, равным плотности распределения p (x).

Запись M (…) используется для обозначения не только математического ожидания случайной величины X, но и для так называемой операции усреднения, т.е. суммирования с множителями (весами), равными значениям закона распределения P (x_i), или интегрирования с ядром, равным плотности распределения p (x).

Математическое ожидание совпадает с абсциссой центра тяжести закона распределения или плотности распределения. В ряде случаев близко к наиболее вероятному значению.

Дисперсия (рассеяние)

Дисперсия – это вероятностная характеристика степени рассеяния возможных значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Буквенное обозначение дисперсии случайной величины X: D (X).

Дисперсия численно равна среднему квадрату отклонения случайной величины от своего среднего (математического ожидания):

D (X) = M ((X – M (X))²).

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется так:

D (X) = (x ₁– M (X))² × P (x ₁) + … +(x_N – M (X))² × P (x_N) = .

Для непрерывной случайной величины

D (X) = .

Единица измерения дисперсии – квадрат единицы измерения случайной величины.

Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение)

Среднеквадратическое отклонение также как и дисперсия характеризует отклонение возможных значений случайной величины от математического ожидания, являясь вероятностной характеристикой закона распределения или плотности распределения.

Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии

.

В отличие от дисперсии, среднеквадратическое отклонение удобно тем, что измеряется в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение – особый вид плотности распределения непрерывной случайной величины

= N (m; s ²).

Нормальное распределение N (m; s ²) зависит только от двух параметров, название которых соответствует их смыслу: m – математическое ожидание; s ² – дисперсия.

График нормального распределения представляет собой гладкую симметричную «колоколообразную» кривую с быстро убывающими «хвостами». Максимум нормального распределения располагается над точкой математического ожидания. Ширина вершинной части кривой определяется дисперсией. Чем дисперсия больше, тем кривая шире. И, при этом, ниже – для сохранения единичности площади под кривой.

Нормальное распределение возникает везде, где суммируется множество близких по силе случайных воздействий, причём вероятностные характеристики каждого из них не существенны. Поэтому нормально распределённые случайные величины имеют весьма широкое распространение.