Оценка доли качественного признака и её ошибка

Доля качественного признака в генеральной совокупности равна вероятности его появления в единичном опыте p.

Качественный признак с долей p в генеральной совокупности описывается двузначной случайной величиной X, которая может принимать всего два значения: 0 и 1, причём значение 1 с вероятностью p. Такая двузначная случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию

M (X) = p,

D (X) = p × (1 –p).

Оценка неизвестной вероятности p по выборочным данным может быть произведена по формуле выборочного среднего, причём те данные, в которых признак проявился, заменяются единицами, а те, в которых он не проявился – нулями. Фактически вычисляется отношение количества появлений признака k к общему числу опытов n, известное в статистике как относительная частота:

= k / n.

Обозначение оценки доли качественного признака – «крышечка».

Количество появлений признака в n независимых опытах есть биномиальная случайная величина k. Математическое ожидание и дисперсия биномиальной случайной величины составляют, соответственно, M (k) = n × p и D (k) = n × p × (1 –p).

Отношение количества появлений качественного признака k в выборке к объёму выборки n, т.е. , также является случайной величиной, возможные значения которой в n раз меньше соответствующих значений биномиальной случайной величины k и имеют те же вероятности, что и у биномиальной случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия оценки доли качественного признака составляют:

M () = p,

D () = p × (1 –p)/ n.

Как можно видеть, дисперсия оценки в n раз меньше дисперсии двузначной случайной величины, которой описывается качественный признак: D () = D (X)/ n.

Это означает, что отклонение оценки доли качественного признака от истинного значения p, характеризуемое дисперсией оценки, уменьшается с ростом объёма выборки n.

Выборочная дисперсия оценки доли качественного признака находится путём замены в предыдущей формуле неизвестной доли качественного признака p на её оценку , вычисленную по формуле выборочного среднего:

= .

Среднеквадратическая ошибки оценки вычисляется путём извлечения квадратного корня:

= .