Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Уравнение прямой. Способы задания прямой. Взаимное расположение прямых






     

    Задача 1 Построить и составить уравнение прямой :

    а) , ; б) , ;

    в) , ; г) , ;

    д) , ; е) т. , ;

    ж) проходящей через 2 различные точки и ;

    з) проходящей через точку перпендикулярно прямой , проходящей через точки и , где , ;

    и) проходящей точка параллельно прямой , проходящей через точки и , где , ;

    к) проходящей через точку и направляющий вектор ;

    л) проходящей через точку с нормальным вектором .

     

    Решение. а) Так как ( - ордината точки пересечения прямой с осью ) и ( - угол, который прямая образует с положительным направлением оси ). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

    ,

    .

     

    Ответ. Рисунок 18

    б) Так как ( - ордината точки пересечения прямой с осью ) и ( - угол, который прямая образует с положительным направлением оси ). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

    ,

    .

     

    Ответ. Рисунок 19

     

     

    в) Так как ( - расстояние, которое отсекает прямая на оси ) и , т.е. прямая перпендикулярно оси .

     

     

    Ответ. Рисунок 20

     

     

    г) Так как , . Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

    .

     
     

     


    Ответ. Рисунок 21

     

     

    д) Так как , ( - угловой коэффициент прямой). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом

     

    .

           
     
    O
       
    2 3
     

     

     


    Ответ. Рисунок 22

     

    е) Так как дана точка лежащая на прямой и угловой коэффициент , воспользуемся формулой

    , ,

    .

     

     

    Ответ. Рисунок 23

     

    ж) Уравнение прямой, проходящей через две различные точки и выглядит следующим образом:

     

    .

     

     

    Рисунок 24

     

    .

     

     

    Ответ.

    з) Уравнение прямой, проходящей через т. перпендикулярно прямой , где , выглядит следующим образом:

    Составим уравнение прямой :

    .

    .

    Уравнение : . Угловой коэффициент прямой : . Так как прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению, т.е. . Воспользуемся формулой .

     

    Ответ. Рисунок 25

     

     

    и) Уравнение прямой составили в предыдущем примере : .

    Так как по условию две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. угловой коэффициент для нашей прямой будет тоже равен 2.

    ,

    .

     

     

    Ответ. Рисунок 26

     

     

    к) Уравнение прямой, проходящей через точку и направляющий вектор задается уравнением: .

     

     

    Ответ. Рисунок 27

     

     

    л) Общее уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором , выглядит следующим образом: . Таким образом, уравнение прямой, проходящей через т. с нормальным вектором , будет следующим:

    ,

    .

     

     

    Ответ. Рисунок 28

     

    Задача 2 Определить взаимное расположение прямых:

    а) , ; б) , ;

    в) , , г) , .

     

    Решение. а) , .

    1 способ. Найдем угол между двумя прямыми, если прямые заданы через угловые коэффициенты. От общего уравнения прямой

    перейдем к уравнению прямой через угловой коэффициент

    и воспользуемся формулой

    2 способ. Найдем угол между двумя прямыми, если прямые заданы в общем виде: .

    , Воспользуемся формулой .

    Ответ.

    б) , .

    1 способ. Аналогично, от общего уравнения прямой

    перейдем к уравнению прямой через угловой коэффициент : . Угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению или . Следовательно, прямые перпендикулярны, т.е. угол между ними .

    2 способ. Прямые заданы в общем виде . Найдем скалярное произведение векторов и : нормальные вектора и перпендикулярны прямые пересекаются под углом .

    Ответ.

    в) , .

    1 способ. Прямые заданы в общем виде , . Перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой через угловой коэффициент

    и найдем угловые коэффициенты прямых

    Угловые коэффициенты равны, т.е.

    следовательно, прямые параллельны.

     

    2 способ. Так как прямые заданы в общем виде , то запишем координаты нормальных векторов и : . Так как координаты векторов и пропорциональны, то вектора коллинеарны .

    Нормальные вектора коллинеарны, следовательно, прямые параллельны.

     

    Ответ. Прямые параллельны

    г) , .

    1 способ. Перейдем от общего уравнения прямой

    к уравнению прямой через угловой коэффициент и найдем угловые коэффициенты прямых

    , ; ,

    Следовательно, прямые совпадают, так как и .

    2 способ. Так как прямые заданы в общем виде , то запишем координаты нормальных векторов и : . Так как координаты векторов и пропорциональны и отношение свободных членов тоже равно , т. е. . Таким образом, справедлива формула прямые совпадают.

    Ответ. Прямые совпадают

     

    Задача 3 При каких значениях и две прямые ,

    а) параллельны;

    б) совпадают;

    в) имеют общую точку.

    Решение. Прямые на плоскости могут быть либо параллельными, т.е. ; либо совпадать ; либо пересекаться

    а) ,

    . ;. .

    б) прямые совпадают тогда и только тогда, когда .

    в) При и прямые имеют общую точку.

    Ответ. а) при и прямые параллельны;

    б) при и прямые совпадают;

    в) при и прямые имеют общую точку

     

    Задача 4 Привести общее уравнение прямой к нормальному виду:

    а) ; б) ; в) .

    Решение. а) Прямая задана в общем виде Приведем к нормальному виду Найдем нормирующий множитель . Так как , то . Умножим общее уравнение на нормирующий множитель .

     

    б) ,

    Так как , то : .

     

    в) , . Так как , то : , .

     

    Ответ. а) ; б) ; в)

    Задача 5 Вычислить расстояние между прямыми:

    а) , ; б) , .

     

    Решение. а)Исследуем данные прямые как они расположены друг относительно друга , , .

    Так как прямые параллельны. Найдем расстояние между параллельными прямыми. На прямой найдем точку; пусть , тогда . Точка .

    По формуле , найдем расстояние от точки , т.е. до прямой , т.е. .

    .

     

    б) Исследуем расположение данных прямых и .

    , ,

    Используя формулу

    получим Следовательно, прямые совпадают и расстояние между ними равно нулю ().

     

    Ответ. а) ; б)

    Задача 6 При каких значениях следующие пары прямых и : а) параллельны; б) перпендикулярны: : и : ;

    Решение. 1 способ. а) и .

    Две прямые и параллельны (), если нормальные вектора и коллинеарны. , .

    б) Если две прямые и перпендикулярны (), то нормальные вектора и ортогональны : , , .

    2 способ. Запишем уравнения прямых через угловые коэффициенты.

    а) , и ,

    Прямые , если угловые коэффициенты прямых равны. Приравняем угловые коэффициенты прямых .

    б) Используем признак перпендикулярности двух прямых, если прямые заданы в общем виде. Прямые перпендикулярны, если угловые коэффициенты прямых противоположны по знаку и обратны по значению ,

     

    Ответ. а) 4; б)

    Задача 7 Через точку пересечения прямых , проведена прямая, параллельная прямой .

     

    Решение. Найдем точку пересечения прямых и . Решим систему линейных уравнений

    Точка пересечения двух прямых . Так как прямые параллельны, то нормальные вектора коллинеарны: .

    - уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором .

     

    Ответ.

     

    Задача 8 Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

     

    Рисунок 29

     

    Решение. Найдем уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной данной прямой по формуле : , .

    Так как точка лежит на , то ее координаты удовлетворяют уравнению , т.е. .

    Найдем расстояние от точки до прямой .

    .

    Найдем точку пересечения двух прямых:

    .

    Точка .

    Найдем расстояние , которое равно :

    .

    Решим систему уравнений:

    ,

    ,

     

    Ответ.

    Задача 9 Определить при каком значении три прямые , , будут пересекаться в одной точке.

    Решение. Для того, чтобы найти при каком значении три прямые будут пересекаться в одной точке, необходимо решить систему уравнений:

     

    Ответ.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.