Граничные условия для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

На границах «ямы» (при х=0 и х=0) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид: Ψ (0)=Ψ (l)=0

6. Собственная волновая функция частицы в одномерном потенциальном ящике имеет вид . Как можно определить коэффициент пропорциональности А в этом выражении?

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

А² ∫ sin² (nπ /l)xdx=1

В результате интегрирования получим А=√ 2/l

7. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Каково расстояние между 3-м и 4-м энергетическими уровнями?

∆ Е=E4-E3=(π ² h² /2ml²)(2*4-1)=49π ² h² /ml²

8. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Каково расстояние между 1-м и 2-м энергетическими уровнями?

∆ Е=E2-E1=(π ² h² /2ml²)(2*2-1)=9π ² h² /ml²

9. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Во сколько раз отличаются значения энергии электрона и протона, находящихся в одинаковых ящиках?

m(электр)=9, 1095*10(-31)кг

m(протон)=1, 673*10(-27)кг

π ² h² =10, 976*10(-68)

h/2π =1, 0545*10(-34)

Е(электр)=0, 602*10(-35)пДж

Е(протон)=3, 28*10(-39)пДж

Е(электр)/ Е(протон)=1, 8*10(3)пДж

10. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Как изменится энергия электрона в основном состоянии, если ширину ящика уменьшить в 2 раза.

Следуя формуле можно определить, как изменится энергия, в данном случае энергия должна увеличиться в 4 раза

11. Квантовая частица в бесконечно глубокой прямоугольной одномерной потенциальной яме имеет дискретный энергетический спектр (энергия частицы квантована). Как зависит эта энергия от значения квантового числа n?

Движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия Е частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е называются уровнями энергии, а число n, определяющие энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

12. Чему равна величина Dy в уравнении Шредингера ?

Dy- оператор Лапласа (d² Ψ ∕ dх² _+ d² Ψ ∕ dу² + d² Ψ ∕ dz²)

13. Что называют туннельным эффектом?

Туннельный эффект -квантовое явлений, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Суть туннельного эффекта заключается в прохождении частицы сквозь потенциальный барьер и возможности её обнаружения в области запрещенной с точки зрения классической механики.

14. На рисунке показана зависимость квадрата модуля волновой функции, определяющей состояние электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной L в квантовом состоянии при n = 1. Какая из указанных координат соответствует состоянию, в котором вероятность обнаружить электрон наибольшая?

С увеличением квадрата модуля функции, т.е. с увеличением модуля амплитуды волн де Бройля увеличивается вероятность обнаружить электрон наибольшая. Следовательно в х3 вероятность больше.

15. Энергия электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной l определяется формулой . Как изменяется относительный энергетический интервал между уровнями при возрастании квантового числа n?

∆ Е/Е-?

∆ Е= (π ² h² /8ml²)(2n+1)

Е=(π ² h² n² /8ml²)можно заменить коэффициентом k.

∆ Е/Е=k(n+1)² -kn² /kn² =2n+1/n²

подставляя значение в n, можно узнать как изменяется энергия с возрастанием n

-условие нормировки