Классическое определение вероятности.

(1.1)

Р(А) - вероятность события A; п - общее число случаев, m — благоприятных событию А.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1⁰ Вероятность достоверного события равна единице

2⁰ Вероятность невозможного события

3⁰ Вероятность случайного события есть положительное число, заключенный между 0 и 1

Пример:

В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Обозначим A - событие, состоящее; в появлении белого шара.

Общее число случаев n = 5; число случаев благоприятных событию А m = 2.

Следовательно

Тема: Теорема сложения и умножения вероятности

Теорема-1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий т. е

Теорема-2. Если событие А и В совместны то вероятность их суммы выражается формулой

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени разделенный на 3 области. Вероятность попадания в

I область- 0, 45, во II область- 0, 35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение: Событие А- стрелок попадет в первую область

Событие В- стрелок попадет в вторую область

Событие А и В несовместные, тогда

Пример 2. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение: А- выпадение 6 очков первой игральной кости

В- выпадение 6 очков второй игральной кости

Теорема: Сумма вероятностей событий образующий полную группу равна 1

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

Пример 3. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из города А, В и С. Полученные пакеты из города А, из города В, Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение: ,

Пример 4. Вероятность того, что день будет дождливым . Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение: День будет ясным это противоположная вероятность.

Условной вероятностью - называют вероятность события В вычисленную в предположении что событие А уже наступило.

Определение: Условной вероятностью события В при условии А называется отношение

,

И аналогично определяется условная вероятность события А при условии В,

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, что первое событие уже наступило.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятности этих событий.

Пример 5. В урне 4 белых и 3 черных шаров. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Решение: