Вычисление площади плоской кривой. Вычисление объема тела.

1. Площадь плоской фигуры, ограниченной области D, находится по формуле

2. Если область D определена, например, неравенствами , то

3. Если область D в полярных координатах определена неравенством то

Примеры 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение: Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений

В результате получим Таким образом,

4. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью снизу плоскостью и сбоку цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область D, вычисляется по формуле

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями расположенного в I октанте.

Решение: Тело, объема которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью сбоку-параболическим цилиндром и плоскостью Следовательно, это цилиндрическое тело. Область D ограничена параболой и прямыми и Таким образом, имеем

Вопросы для самопроверки

1. Что называется двойным интегралом?

2. Перечислить свойства двойного интеграла.

3. Сформулируйте правило замены переменных в двойном интеграле.

4. Как вычисляется двойной интеграл в декартовых координатах с помощью повторного интегрирования?

5. Что называется тройным интегралом?

6. Перечислить свойства тройного интеграла.

7. Как вычисляется тройной интеграл в декартовой системе координат?

Рекомендуемая литература: ОЛ[2], [3], [4], [7],