Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования(т.е подстановки).При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся(в случае «удачной» подстановки).Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку , где функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной переменно интегрирования назад к переменной .

Иногда целесообразно подбирать подстановку виде , тогда

где Другими словами, формулу (30.1) можно применять справа налево

Пример 1. Найти

Решение: Положим тогда Следовательно,

Пример2. Найти

Решение: Пусть тогда Поэтому

Пример 3. Найти

Решение: Пусть Тогда Имеем: