Дифференциалы высших порядков

Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или

И так, по определению Найдем выражение второго дифференциала функции

Так как не зависит от то при дифференцировании считаем постоянным:

т.е.

Здесь обозначает

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

И, вообще, дифференциал -го порядка есть дифференциал от дифференциала -го порядка:

Отсюда находим, что В частности, при соответственно получаем:

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если - независимая переменная. Если же функцию где - функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения получаем:

т.е.

Сравнивая формулы и убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое

Ясно, что если - независимая переменная, то

и формулу переходит в формулу.

Пример. Найти если и независимая переменная.

Решение: Так как то по формуле имеем