Экстремум функции

Если производная функции у= f(х) обращается в нуль в точке х_о, f'(х)=0 и в этой точке вторая производная существует и поло­жительна f" (х_о) > о, то х_о - точка минимума функции. Если в точ­ке х_о имеем f'(х) = о и f" (х_о) < о, то х_о - точка максимума функции.

Пример 1. Исследуем на экстремум функцию у=х³ -12х.

Решение: Найдем производную у'=3x² -12, из уравнения 3х²- 12 =0 находим две стационарные точки; х₁=- 2, х₂ = 2. Далее, найдем вторую производную у" =6х. Определим знак второй про­изводной в каждой стационарной точке. Имеем f" (-2) < о, f" (2) > о, следовательно,

х =- 2 есть точка максимума, а х =2 - точка минимума функции.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию y=sinx внутри одного полного периода х

Решение: Пусть х найдем критические точки у'=cosx, соsх=0 при х₁ = ; х₂ =

у" =-sinx. Вычислим значение второй производной функции в критических точках х₁ = ;

х₂ = , Тогда f " следовательно, в точке х₁ = функцияy=sinx имеет максимум, а вточке х₂ = функция у=sinx имеет минимум: