Законы распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).

Табличное задание закона распределения:

– возможные значения случайной величины;

– вероятности появления случайной величины.

Аналитическое задание закона распределения:

а) Биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли

.

(14)

где k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий; q = 1-p – вероятность не появления событий.

Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточна мала, причем их произведение а = np не мало и не велико (p < 0, 1, npq < 10), то вероятность P_n (m) можно приближенно найти по формуле Пуассона:

.

(15)

б) Распределение Пуассона, определяемое асимптотической формулой Пуассона:

,

(16)

где – интенсивность потока событий, которая характеризует математическое ожидание или среднее значение случайной величины распределенной по данному закону; e =2, 7.

в) Локальная формула Муавра-Лапласа

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (n > 100, npq > 9), то вероятность P_n (m) можно приближенно найти по формуле Муавра-Лапласа

,

(17)

где , – функция Гаусса.

г) Интегральная формула Лапласа

В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов m будет заключено между m ₁ и m ₂ можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

,

(18)

где , , – функция Лапласа.

Значения данных функций есть в приложениях учебников по теории вероятности.

Графическое задание закона распределения представлено на рис. 1.

Рис. 1

Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин.