А полуразность – наклон основания

(1.8)

Рис. 1.3. Акселерометр со смещением нуля на невертикальном основании

При наличии угла наклона оси чувствительности акселерометра относительно посадочной базы на его корпусе и отклонения основания относительно отвесной линии (рис. 1.3) показания акселерометра в двух противоположных положениях оси чувствительности акселерометра можно представить в следующем виде

(1.9)

где - показания акселерометра в двух противоположных положениях на номинально вертикальном основании, мВ;

- угол отклонения основания от отвесной линии, б/р.

В случае малого угла наклона оси чувствительности акселерометра относительно посадочной базы на его корпусе и малого отклонения основания относительно отвесной линии

(1.10)

Полуразность показаний акселерометра в двух противоположных вертикальных направлениях дает возможность определить масштабный коэффициент акселерометра

(1.11)

Полусумма показаний акселерометра в двух противоположных вертикальных направлениях дает возможность определить смещение нуля акселерометра в предположении линейности характеристики акселерометра в диапазоне ускорений от минус 1g до 1g.

1.1.5. Линейная модель погрешности триады акселерометров. Модель погрешности акселерометра – принятое математическое описание погрешности акселерометра от некоторой совокупности факторов, определяющих его условия функционирования. Наиболее употребительной моделью погрешности является модель степенной зависимости погрешности от проекций вектора кажущегося ускорения основания. При малых ускорениях основания в модели погрешности можно ограничиться первой степенью проекций кажущегося ускорения. Простейшая линейная модель погрешности триады акселерометров, то есть трех акселерометров с номинально ортогональными входными осями, может быть получена из следующих соображений.

Введем систему координат (рис. 1.4). Входные оси каждого из трех акселерометров совпадают с осями системы координат . При проведении лабораторного практикума система координат материализуется в виде ориентационного приспособления (куба с ортогональными гранями), описанного в разделе 4.4. Оси системы координат ортогональны и параллельны соответствующим граням ориентационного приспособления.

Рис.1.4. К модели погрешности триады акселерометров

Обозначим проекции кажущегося ускорения на оси системы координат .

При наличии малых относительных погрешностей масштабного коэффициента , , каждый акселерометр измеряет проекцию кажущегося ускорения на свою ось чувствительности с соответствующими погрешностями .

При наличии малых погрешностей выставки осей чувствительности (рис. 1.4) каждый акселерометр дополнительно измеряет кажущиеся ускорения вдоль двух других осей трехгранника :

- по оси чувствительности акселерометра X имеем дополнительно проекции кажущегося ускорения и ;

- по оси чувствительности акселерометра Y имеем дополнительно проекции кажущегося ускорения и ;

- по оси чувствительности акселерометра Z имеем дополнительно проекции кажущегося ускорения и .

Каждый акселерометр имеет свое смещение нуля (bias) , в общем случае зависящее от времени, температуры и других внешних условий.

Каждый акселерометр имеет свою случайную составляющую погрешности .

Схемотехника микромеханических инерциальных датчиков обычно такова, что их выходная характеристика смещена на некоторую известную расчетную величину. В нашем случае выходная характеристика каждого канала акселерометра смещена на величину , в нашем случае равную половине напряжения питания акселерометра.

Таким образом, измерения триадой акселерометров составляющих кажущегося ускорения вдоль осей ортогональной системы координат можно представить в виде

(1.12)

или в матричной форме

(1.13)

где - номинальные значения масштабных коэффициентов по соответствующим осям.

1.1.6. Калибровка триады акселерометров. Калибровка - операция определения параметров модели погрешности по принятому алгоритму оценивания. Калибровкав силу приведенной модели погрешности (1.12) осуществляется путем измерения показаний каждого из трех акселерометров при их различных угловых положениях относительно отвесной линии.

В гироскопических системах, где есть платформа в кардановом подвесе, сама конструкция прибора является стендом, поскольку позволяет осуществлять выставку платформы в разные угловые положения, именуемые также ориентациями, посредством датчиков команд (датчиков крена, тангажа (дифферента), азимута) и соответствующих следящих систем. В бескарданных системах калибровка осуществляется на наклонно-поворотных стендах и/или оптических делительных головках. Во время проведения данного лабораторного практикума установка в разные ориентации триады акселерометров, закрепленной на ориентационном приспособлении (кубе с взаимно ортогональными установочными плоскостями), осуществляется вручную на предварительно выставленном в горизонте основании.

Выставим ось X ориентационного приспособления по направлению отвесной линии вверх в ориентацию 1. Тогда выражения для тестовых воздействий примут вид

(1.14)

Подставив выражения для тестовых воздействий (1.14) в формулы (1.12), получим показания акселерометров в виде

(1.15)

Выставим ось X ориентационного приспособления по направлению отвесной линии вниз в ориентацию 2. Тогда выражения для тестовых воздействий примут вид

(1.16)

Подставив выражения для тестовых воздействий (1.16) в формулы (1.12), получим показания акселерометров в виде

(1.17)

После осреднения показаний акселерометров из (1.15) и (1.17) получим

(1.18)

Вычисление соответствующих полусумм и полуразностей средних значений показаний акселерометров (1.18) в ориентациях 1 и 2 дает возможность определить ряд калибровочных констант триады акселерометров

(1.19)

Выставим ось Y ориентационного приспособления по направлению отвесной линии вверх в ориентацию 3. Тогда выражения для тестовых воздействий примут вид

(1.20)

Подставив выражения для тестовых воздействий (1.20) в формулы (1.12), получим показания акселерометров в виде

(1.21)

Выставим ось Y ориентационного приспособления по направлению отвесной линии вниз в ориентацию 4. Тогда выражения для тестовых воздействий примут вид

(1.22)

Подставив выражения для тестовых воздействий (1.22) в формулы (1.12), получим показания акселерометров в виде

(1.23)

После осреднения показаний акселерометров из (1.21) и (1.23) получим

(1.24)

Вычисление соответствующих полусумм и полуразностей средних значений показаний акселерометров (1.24) в ориентациях 3 и 4 дает возможность определить ряд калибровочных констант триады акселерометров

(1.25)

Выставим ось Z ориентационного приспособления по направлению отвесной линии вверх в ориентацию 5. Тогда выражения для тестовых воздействий примут вид

(1.26)

Подставив выражения для тестовых воздействий (1.26) в формулы (1.12), получим показания акселерометров в виде

(1.27)

Выставим ось Z ориентационного приспособления по направлению отвесной линии вниз в ориентацию 6. Тогда выражения для тестовых воздействий примут вид

(1.28)

Подставив выражения для тестовых воздействий (1.28) в формулы (1.12), получим показания акселерометров в виде

(1.29)

После осреднения показаний акселерометров из (1.27) и (1.29) получим

(1.30)

Вычисление соответствующих полусумм и полуразностей средних значений показаний акселерометров (1.30) в ориентациях 5 и 6 дает возможность определить ряд калибровочных констант триады акселерометров

(1.31)

Окончательно сводка формул для определения калибровочных констант триады акселерометров в силу модели погрешности (1.12) может быть получена из выражений (1.19), (1.25), (1.31):

- выражения для вычисления поправок к масштабным коэффициентам

(1.32)

(1.33)

(1.34)

- выражения для вычисления погрешности выставки оси чувствительности акселерометра X

(1.35)

(1.36)

- выражения для вычисления погрешности выставки оси чувствительности акселерометра Y

(1.37)

(1.38)

- выражения для вычисления погрешности выставки оси чувствительности акселерометра Z

(1.39)

(1.40)

- выражения для вычисления смещения нуля акселерометра X

(1.41)

(1.42)

(1.43)

- выражения для вычисления смещения нуля акселерометра Y

(1.44)

(1.45)

(1.46)

- выражения для вычисления смещения нуля акселерометра Z

(1.47)

(1.48)

(1.49)

где , , , , , - средние значения показаний акселерометра X в соответствующей ориентации;

, , , , , - средние значения показаний акселерометра Y в соответствующей ориентации;

, , , , , - средние значения показаний акселерометра Z в соответствующей ориентации;

- смещения выходной характеристики каналов акселерометра.

В силу линейности принятой модели (1.12) любая полусумма показаний акселерометра с противоположно направленными осями чувствительности дает оценку смещения нуля. Работа в шести ориентациях дает возможность получить три оценки смещения нуля каждого акселерометра. Поэтому близость значений этих трех оценок может свидетельствовать о корректности проведенной калибровки.

Следует также обратить внимание на то, что оценки смещения нуля акселерометров по формулам (1.42), (1.43), (1.44), (1.46), (1.47), (1.48) используют измерения вблизи нулевых сигналов акселерометров, а оценки смещения нуля акселерометров по формулам (1.41), (1.45), (1.49) используют измерения вблизи минус 1g и 1g. Обусловленные этим обстоятельством разница в оценках смещения нуля может указывать на нелинейность выходной характеристики акселерометров.

Выделенное для проведения лабораторного практикума ориентационное приспособление (куб с взаимно ортогональными гранями) имеет пять, а не шесть, рабочих граней (рис. 4.2). Шестая грань куба используется для установки разъема и вывода электрических цепей. Отполированные стальные «пятачки», материализующие шестую грань, отсутствуют. Это означает, что ортогональность шестой грани куба не обеспечена с нужной точностью.

Поэтому при установке куба в 6 ориентацию имеет смысл проводить измерение одного только выходного сигнала акселерометра по оси Z для определения масштабного коэффициента по формуле (1.34). Показания двух других акселерометров и неизбежно будут содержать произвольные углы отклонения шестой грани от ортогональности с другими гранями и не могут быть использованы для определения погрешностей выставки осей чувствительности акселерометров X и Y по формулам (1.36) и (1.38).

Однако отсутствие измерений и в 6-ой ориентации не влияет на определение большинства калибровочных констант триады акселерометров по формулам (1.32)…(1.35), (1.37), (1.39)…(1.42), (1.44), (1.45), (1.47)…(1.49).

Недостающие формулы для определения погрешности выставки оси чувствительности акселерометра X и погрешности выставки оси чувствительности акселерометра Y можно получить из первой и второй формул выражения (1.30)

(1.50)

(1.51)

где - смещения нуля акселерометров соответственно X и Y, вычисленные по формулам (1.41), (1.42) и (1.44), (1.45).