Математичне формулювання

Еволюція механічної системи матеріальних точок з масами за другим законом Ньютона задовольняє системі рівнянь

,

де — швидкості матеріальних точок, а — сили, що діють на ці точки.

Якщо подати сили, як суму потенціальних сил і непотенціальних сил , а потенціальні сили записати у вигляді

,

то, домножуючи усі рівняння на і можна отримати

Перша сума в правій частині рівняння є ні чим іншим, як похідною по часу від складної функції, а отже, якщо ввести позначення

і назвати цю величину механічною енергією, то, інтегруюючи рівняння від моменту часу t=0 до моменту часу t, можна отримати

,

де інтегрування проводиться вздовж траєкторій руху матеріальних точок.

Таким чином,

Закон збереження енергії в механіці виконується тільки для систем, у яких всі сили потенціальні^[1].

Ще на ранніх етапах розвитку фізики рівняння механіки використовувалися до небесних тіл, для яких непотенціальні сили, наприклад, сила тертя, дуже малі і ними можна знехтувати. Непотенціальних сил не існує також у мікросвіті атомів і молекул. В цих системах закон збереження механічної енергії відіграє ключову роль. А от на побутовому рівні, у світі земних природних явищ і машин, механічна енергія не зберігається. Тому повне формулювання закону збереження енергії вимагає вивчення теплових явищ.