Перетворення Лоренца. Докладніше: Перетворення Лоренца

Докладніше: Перетворення Лоренца

Принципу інваріантності просторово-часового інтервалу відповідають перетворення між координатами події при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої, які отримали назву перетворень Лоренца. Для часткового випадку двох систем відліку K та K′, друга з яких рухається зі швидкістю v відносно першої вздовж координати x ₁, вони мають вигляд:

,

де – координати події в системі K; – координати тієї ж події в системі K′; v – відносна швидкість двох систем; c – швидкість світла.

Наслідком цих співвідношень є те, що відрізки часу й відстані в різних інерційних системах відліку мають різні значення.

Аналогічні перетворення справедливі для будь-якої векторної або тензорної фізичної величини, що задаються 4-векторами й 4-тензорами. Фізичні закони, записані через 4-вектори й 4-тензори, залишаються однаковими у всіх інерційних системах відліку. Така форма запису називається лоренц-коваріантною.

У механіку Ньютона одночасність двох подій абсолютна і не залежить від системи відліку. Це значить, що якщо дві події відбуваються в системі K у моменти часу t і t₁, а в системі K’ відповідно в моменти часу t’ і t’₁ , те оскільки t=t’, проміжок часу між двома подіями однаковий в обох системах відліку

На відміну від класичної механіки, у спеціальній теорії відносності одночасність двох подій, що відбуваються в різних крапках простору, відноснаі: події, одночасні в одній інерційній системі відліку, не одночасні в інших інерційних системах, що рухаються щодо першої. На малюнку (див. нижче) розташована схема експерименту, що це ілюструє. Система відліку K зв'язана з Землею, система К' — з вагоном, що рухається щодо Землі прямолінійно і рівномірно зі швидкістю v. На Землі й у вагоні відзначені крапки А, М, В и відповідно А', М' і В', причому АМ=МВ і А'М'=М'В'. У момент, коли зазначені крапки збігаються, у точках А и В відбуваються події — ударяють дві блискавки. У системі До сигнали від обох спалахів прийдуть у крапку М одночасно, тому що АМ=МВ, і швидкість світла однакова у всіх напрямках. У системі К’, зв'язаної з вагоном, сигнал із точки В’ прийде в точку M’ раніш, ніж із точки А’, тому що швидкість світла однакова у всіх напрямках, але М’ рухається назустріч сигналові пущеному з точки B’ і віддаляється від сигналу, пущеного з точки А’. Виходить, події в точках А’ і B’ не одночасні: події в точці B’ відбулося раніш, ніж у точці A’. Якби вагон рухався в зворотному напрямку, то вийшов би зворотний результат.

Поняття одночасності просторово розділених подій відносно. З постулатів теорії відносності й існування кінцевої швидкості поширення сигналів випливає, що в різних інерційних системах відліку час протікає по-різному.

Перетворення Лоренца

Відповідно до двох постулатів спеціальної теорії відносності між координатами і часом у двох інерційних системах К и К' існують відносини, що називаються перетвореннями Лоренца.

У найпростішому випадку, коли система К’ рухається щодо системи До зі швидкістю v так, як показано на малюнку (див нижче), перетворення Лоренца для координат і часу мають такий вигляд:

, , , ,
, , , .

З перетворень Лоренца випливає тісний зв'язок між просторовими і тимчасовими координатами в теорії відносності; не тільки просторові координати залежать від часу (як у кінематиці), але і час в обох системах відліку залежить від просторових координат, а також від швидкості руху системи відліку K’.

Формули перетворень Лоренца переходять у формули кінематики при v/c< < 1. У цьому випадку

, , , ,

, , , .

Перехід формул теорії відносності у формули кінематики за умови v/c < < 1 є перевіркою справедливості цих формул.