СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПреДелениЯ

В микромире элементарные акты распределены во времени и в пространстве совершенно случайно (радиоактивный распад, взаимодействие частиц со средой и т.д.). Казалось бы, что никакой закономерности между ними не существует. Однако при наблюдении большого числа событий можно установить определённые статистические законы их распределения.

При ядерно-физических измерениях в большинстве случаев отдельные значения измеряемой величины соответствуют некоторому закону распределения вероятности. Знание такого закона позволяет, в частности, получить статистические оценки достоверности измерений, проверить априорные предположения о связи между измеряемыми величинами.

Если известен закон распределения Р (х) случайной величины X, то истинное среднее значение измеряемой величины X определяется из следующих соотношений:

– для дискретной величины:

;

– для случайной величины:

.

Эти выражения справедливы только для нормированных распределений, для которых:

. (1)

Закон Гаусса (нормальное распределение) играет фундаментальную роль в построении общей математической теории вероятности. Он применим, когда изучаемое явление обусловлено множеством малых независимых вкладов, имеющих случайный характер.

Параметрами распределения Гаусса являются среднее значение Х _ср и среднее отклонение s:

. (2)

Средний квадрат отклонения измеряемой величины от её действительного значения называется дисперсией случайной величины:

. (3)

Считается, что лучшее приближение к точной величине –деление суммы не на n, а на (n – 1).

Дисперсия характеризует ошибки отдельных измерений, а также экспериментальную установку и методику измерений. Чем грубее измерения (больше разброс), тем больше дисперсия.

Зная дисперсию, можно с помощью закона Гаусса оценить надёжность измерения, т. е. ответить на вопрос, с какой вероятностью действительное значение измерений лежит в пределах x ± ε, где x – результат измерения, а s > 0 – произвольное число. Таблица так называемого интеграла ошибок Гаусса позволяет найти

P (x _ср ± σ) = 0, 68;

Р (x _ср ± 2σ) = 0, 95;

Р (x _ср ± 3σ) = 0, 997.

Это означает, что с вероятностью 68 % истинное значение отличается от результатов измерения не более чем на среднеквадратичную ошибку; с вероятностью 95 % – не более чем на две среднеквадратичные ошибки; с вероятностью 99, 7 % – не более чем на три среднеквадратичные ошибки.

Распределение Пуассона в отличие от закона Гаусса является дискретным. Оно описывает случайные процессы, в которых вероятность появления события мала по величине и постоянна. Распределение Пуассона применимо, когда случайная величина может принимать только целые положительные значения, а события, относящиеся к неперекрывающимся интервалам, независимы. Закон Пуассона описывает распределения вероятностей редких событий.

Рисунок 1 – Графики распределения Гаусса (кривая 1 соответствует

N _ср = 10; σ = 3; кривая 2 – N _ср = 20; σ = 4, 5) и распределения Пуассона

(пунктиром N _ср = 1; сплошные линии N _ср = 4)

Распределение Пуассона определяется заданием среднего числа событий N _срза выбранный интервал:

. (4)

В случае радиоактивного распада необходимыми и достаточными условиями выполнения распределения Пуассона будут:

– вероятность распада атома в любом заданном интервале времени одинакова для всех выбранных атомов (все атомы идентичны);

– распад одного из атомов в течение заданного интервала времени не влияет на вероятность распада других атомов в том же интервале времени (все атомы независимы);

– вероятность наблюдения распада атомов в течение заданного интервала времени одна и та же для всех интервалов времени одинаковой продолжительности;

– полное число атомов и полное число рассматриваемых интервалов времени достаточно велико (существенны только средние статистические величины).

Примеры применения закона Пуассона:

1) вероятность заряженной частицы образовать N пар ионов при среднем N _ср описывается формулой (4);

2) вероятность N соударений на пути L, если L ₀ – средняя длина свободного пробега:

;

3) вероятность падения N частиц на поверхность S за время t для плотности потока частиц n _ср:

;

4) вероятность потерь N событий, случайно распределённых во времени, если «мёртвое» время прибора равно t, а средняя скорость счёта n _ср:

.

Биноминальный закон распределения вероятностей действует в тех случаях, когда число объектов N ₀, из которого производятся статистические выборки, строго ограничено и число возможных значений результата равно двум (например, число частиц, прошедших через слой вещества):

, (5)

где Р – вероятность одного события; N – полное число возможных событий.

В условиях биноминального закона нарушается условие применимости распределения Пуассона, так как число событий в данном интервале будет зависеть от числа событий в предыдущих интервалах.

При достаточно больших значениях N ₀, когда N ₀ > N, биноминальный закон будет мало отличаться от закона Пуассона.

Для биноминального закона