Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПреДелениЯ






     

    В микромире элементарные акты распределены во времени и в пространстве совершенно случайно (радиоактивный распад, взаимодействие частиц со средой и т.д.). Казалось бы, что никакой закономерности между ними не существует. Однако при наблюдении большого числа событий можно установить определённые статистические законы их распределения.

    При ядерно-физических измерениях в большинстве случаев отдельные значения измеряемой величины соответствуют некоторому закону распределения вероятности. Знание такого закона позволяет, в частности, получить статистические оценки достоверности измерений, проверить априорные предположения о связи между измеряемыми величинами.

    Если известен закон распределения Р (х) случайной величины X, то истинное среднее значение измеряемой величины X определяется из следующих соотношений:

    – для дискретной величины:

    ;

    – для случайной величины:

    .

    Эти выражения справедливы только для нормированных распределений, для которых:

    . (1)

    Закон Гаусса (нормальное распределение) играет фундаментальную роль в построении общей математической теории вероятности. Он применим, когда изучаемое явление обусловлено множеством малых независимых вкладов, имеющих случайный характер.

    Параметрами распределения Гаусса являются среднее значение Х ср и среднее отклонение s:

    . (2)

    Средний квадрат отклонения измеряемой величины от её действительного значения называется дисперсией случайной величины:

    . (3)

    Считается, что лучшее приближение к точной величине –деление суммы не на n, а на (n – 1).

    Дисперсия характеризует ошибки отдельных измерений, а также экспериментальную установку и методику измерений. Чем грубее измерения (больше разброс), тем больше дисперсия.

    Зная дисперсию, можно с помощью закона Гаусса оценить надёжность измерения, т. е. ответить на вопрос, с какой вероятностью действительное значение измерений лежит в пределах x ± ε, где x – результат измерения, а s > 0 – произвольное число. Таблица так называемого интеграла ошибок Гаусса позволяет найти

    P (x ср ± σ) = 0, 68;

    Р (x ср ± 2σ) = 0, 95;

    Р (x ср ± 3σ) = 0, 997.

    Это означает, что с вероятностью 68 % истинное значение отличается от результатов измерения не более чем на среднеквадратичную ошибку; с вероятностью 95 % – не более чем на две среднеквадратичные ошибки; с вероятностью 99, 7 % – не более чем на три среднеквадратичные ошибки.

    Распределение Пуассона в отличие от закона Гаусса является дискретным. Оно описывает случайные процессы, в которых вероятность появления события мала по величине и постоянна. Распределение Пуассона применимо, когда случайная величина может принимать только целые положительные значения, а события, относящиеся к неперекрывающимся интервалам, независимы. Закон Пуассона описывает распределения вероятностей редких событий.

     
     


     

     

    Рисунок 1 – Графики распределения Гаусса (кривая 1 соответствует

    N ср = 10; σ = 3; кривая 2N ср = 20; σ = 4, 5) и распределения Пуассона

    (пунктиром N ср = 1; сплошные линии N ср = 4)

     

    Распределение Пуассона определяется заданием среднего числа событий N срза выбранный интервал:

    . (4)

    В случае радиоактивного распада необходимыми и достаточными условиями выполнения распределения Пуассона будут:

    – вероятность распада атома в любом заданном интервале времени одинакова для всех выбранных атомов (все атомы идентичны);

    – распад одного из атомов в течение заданного интервала времени не влияет на вероятность распада других атомов в том же интервале времени (все атомы независимы);

    – вероятность наблюдения распада атомов в течение заданного интервала времени одна и та же для всех интервалов времени одинаковой продолжительности;

    – полное число атомов и полное число рассматриваемых интервалов времени достаточно велико (существенны только средние статистические величины).

    Примеры применения закона Пуассона:

    1) вероятность заряженной частицы образовать N пар ионов при среднем N ср описывается формулой (4);

    2) вероятность N соударений на пути L, если L 0 – средняя длина свободного пробега:

    ;

    3) вероятность падения N частиц на поверхность S за время t для плотности потока частиц n ср:

    ;

    4) вероятность потерь N событий, случайно распределённых во времени, если «мёртвое» время прибора равно t, а средняя скорость счёта n ср:

    .

    Биноминальный закон распределения вероятностей действует в тех случаях, когда число объектов N 0, из которого производятся статистические выборки, строго ограничено и число возможных значений результата равно двум (например, число частиц, прошедших через слой вещества):

    , (5)

    где Р – вероятность одного события; N – полное число возможных событий.

    В условиях биноминального закона нарушается условие применимости распределения Пуассона, так как число событий в данном интервале будет зависеть от числа событий в предыдущих интервалах.

    При достаточно больших значениях N 0, когда N 0 > N, биноминальный закон будет мало отличаться от закона Пуассона.

    Для биноминального закона

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.