Описание объекта управления.

Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид диф­ференциального уравнения

(1)

где x(t)=u_c(t), u(t)=e(t), p, b – числа, равные p = -1/RC, b = 1/RC

, .

1.2. Конструирование функционала – критерия оптимальности.

Найдем выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время t₁–t₀. Оно представляется в виде

. (2)

Для этого записываем выражение для активной мощности по­терь на сопротивлениях r и R:

или,

Получим, что q =1/R = 0, 0125, n = -2/R = - 0, 025, m = 1/r + 1/R = 0, 1458.

1.3. Формулировка задачи как вариационной задачи на услов­ный экстремум.

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t), доставляющие экстремум функционалу

,

при граничных условиях ,

и при дополнительном условии (уравнении связи)

накладываемом на функции x(t), u(t), в классе которых ищется экстремум.

1.4. Синтез оптимального алгоритма управления.

1.4.1. Получение уравнений вариационной задачи.

Уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид

, ,

в которых

l(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.

В итоге получаем систему уравнений:

(3)

(4)

(5)

Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).

1.4.2. Отыскание решения уравнений вариационной задачи.

Решим уравнения (3) – (5) в следующем порядке:

1) Выразим из (4) u(t):

Затем подставим его в (3) и (5).

При этом получается система уравнений

,

с коэффициентами

a₁₁ = p – nb/2m = -2285, 67,

a₁₂ = b²/2m = 2, 1433*10⁷,

a₂₁ = 2q – n²/2m = 0, 022,

a₂₂ = nb/2m – p = 2285, 67.

Таким образом получим следующую систему:

(6)

2) Запишем систему (6) в матричной форме

, (7)

где

,

.

3) Запишем решение уравнения (7) в виде

, (8)

где

– вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра

,

где l₁, l₂ – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

Собственные числа матрицы А определяются из условия . Таким образом получим

,

.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа l(t₀), входящего в (8)

а) запишем (8) для момента времени t₁

или

,

, (9)

где e₁₁, е₁₂, е₂₁, е₂₂ – элементы матрицы (числа):

б) определим l(t₀) из первого уравнения системы (9)

Таким образом

Решим уравнение (7):

4). Запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

- оптимальная траектория

- оптимальное управление