Теоремы сложения и умножения вероятностей

Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий.

В частности, если события А и В несовместные, то А + В – событие, состоящее в появлении только одного из этих событий.

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А +А +…+А ) = Р(А ) + Р(А ) + … + Р(А )

Пример. В ящике 15 деталей, среди которых 5 окрашенных. Сборщик наудачу достает 3 детали. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей окрашенной окажется хотя бы одна деталь.

Решение. Требование – хотя бы одна из трёх деталей окрашена – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих 3 несовместных событий: В – одна деталь из трех окрашена, С – две детали из трех окрашены, D – три детали окрашены. Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А = В + С + D, и по теореме о вероятности суммы несовместных событий получаем

Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D).

Р(B) = = = 0, 495;

Р(С) = = = 0, 220;

Р(D) = = = 0, 022;

тогда Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D) = = = 0, 736.

(Если сложить числа 0, 495, 0, 220 и 0, 022, то получится 0, 737, что не равно 0, 736. Погрешность получается в результате округлений.)

Определение. Два события А и В называются независимыми, есливероятность появления одного из них не меняется от появления или непоявления другого и наоборот.

Пример. Рассмотрим две урны с шарами. В каждой урне по 5 красных и 6 синих шаров. Из каждой урны один за другим вынимаются два шара, но в первой урне шары возвращаются (урна с возвратом), а во второй урне не возвращаются (урна без возврата). Рассмотрим событие А – второй вынутый из урн шар красный. В первом случае (с возвратом) вероятность события А не зависит от того каким был вынут первый шар (красный или синий), а во второй урне (без возврата) вероятность события А зависит от того, какой был вынут первый шар (красный или синий).

Условную вероятность появления события В при условии, что произошло событие А обозначим символом:

Р (А) или P(A/B).

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие А∙ В, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(А ∙ В) = Р(А) · Р(В)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:

Р(А ∙ В) = Р(А) · Р (В) = Р(В) ∙ Р (А)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий.