Практическое занятие 2.­ Тема: Обработка результатов измерений.

Задание. Изучите метод наименьших квадратов.

Методические рекомендации. Обратите внимание на правила обработки прямых однократных измерений и правила оценивания результатов косвенных и совместных измерений.

Обработка результатов измерений. Главной особенностью однократного измерения является то, что законы распределения случайных составляющих неизвестны и пред­ставление о них формируют лишь на основе ограниченной априор­ной информации.

После исключения из результата всех известных систематиче­ских погрешностей считают, что погрешность исправленного ре­зультата состоит из неисключенных остатков систе­матических и случайных составляющих погрешностей. Неисклю­ченные систематические погрешности переводят в категорию слу­чайных и оценивают каждую составляющую своими границами. При этом рекомендуется распределение вероятностей принимать равномерным, если погрешности заданы границами, и нормальным, если они заданы СКО.

В качестве границ составляющих НСП можно принимать пре­делы допустимых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, используемых при поверке в качестве образцо­вых, погрешности расчетных поправок и т. д. Если каждая НСП оце­нена своей индивидуальной границей то доверительные границы суммарной НСП определяют по формуле (1.13) (см. пр. занятие 1).

Если случайные составляющие погрешности представлены свои­ми СКО S_i, определенными предварительно опытным путем по ре­зультатам многократных наблюдений, либо доверительными грани­цами, найденными экспериментально, то

(2.1)

где t(Р_Д, п) - коэффициент Стьюдента.

Когда случайные составляющие погрешности измерений пред­ставлены доверительными границами соответствующими оди­наковой доверительной вероятности Р = Р_Д; тогда значение рассчитывают по следующей формуле:

(2.2)

Получив по отдельности оценки НСП и случайной погрешности результата однократного измерения, их целесообразно сопоставить. Если необходимо учитывать обе составляющие, то их суммируют по формуле (1.16).

Стандартом регламентирована форма записи результата прямого однократного измерения величины, аналогичная (1.17):

При приближенной оценке погрешностей, как и при точной, не­обходимо перед началом измерений провести предварительную оцен­ку составляющих погрешности результата измерения. Эту информа­цию получают из опыта проведения подобных измерений, нор­мативно-технической документации на используемые средства из­мерений и других источников. Если оценка погрешности превышает допустимую, то следует выбрать более точное средство измерений или изменить методику измерения.

В простейшем случае погрешность равна пределу допускаемой абсолютной основной погрешности средства измерения си, оп­ределяемой по нормативно-технической документации, если из­мерения проводились в нормальных условиях. При этом результат

измерения можно записать в виде т. е. без указания дове­рительной вероятности, которая подразумевается как Р_Д = 0, 95. Если же измерения проводились в условиях, отличающихся от нормаль­ных, то следует определять и учитывать пределы дополнительных по­грешностей, а затем суммировать их с основными.

Косвенные измерения. Напомним (см. лекцию 2), что при косвенных измерениях измеряемая физиче­ская величина А является известной функцией f ряда других измеряе­мых величин - аргументов Х₁, Х₂,..., Х;,..., X_m. Аргументы, т. е. пе­речисленные измеряемые величины, подвергаются прямым измерени­ям, а величину А вычисляют по формуле

А = f(X₁, Х₂,..., Х т). (2.3)

Каждый из аргументов измеряется с некоторой погрешностью, вносящей определенный вклад в результат косвенного измерения. Для оценки этих погрешностей важно разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения.

При линейных косвенных измерениях формула (2.3) запишется в следующем виде:

(2.4)

где b_i - постоянные коэффициенты при искомых аргументах Х_i.

В случае нелинейных косвенных измерений соотношение (2.3) будет представлять собой уже другие, отличные от (2.4), функциональные зависимости.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы либо своими границами либо доверительными границами с до­верительными вероятностями Р д. Если число аргументов невелико (меньше пяти), то простая оценка погрешности результата получа­ется суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т. е. подстановкой границ в формулу

(2.5)

На практике эта оценка завышена, поскольку подобное суммиро­вание сводится к тому, что погрешности измерения всех аргументов одновременно совпадают по знаку и имеют максимальное значение. Обычно вероятность такого совпадения близка к нулю. Чтобы найти более реалистичную оценку, проводят статистическое суммирование погрешностей аргументов. Полагая; что в заданных границах погреш­ности аргументов распределены равномерно, доверительные границы погрешности результата косвенного измерения рассчитывают как

(2.6)

Здесь коэффициент k определяют так же, как и аналогичные коэффи­циенты для формулы (1.13).

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительны­ми границами с одинаковыми доверительными вероятностями, то, считая распределение этих погрешностей нормальным, доверитель­ные границы находят по формуле

(2.7)

При нелинейных косвенных измерениях возникают существенные сложности статистической, обработки результатов и погрешностей, связанные с изменением законов распределения аргу­ментов Х_i при их функциональных преобразованиях. Поэтому проводят приближенную оценку погрешности результата косвенного изме­рения на основе линеаризации функции {2.3).

Запишем выражение для полного дифференциала функции А че­рез частные производные по аргументам Xi:

(2.8)

Согласно известному в математике определению, полный диф­ференциал функции является приращением этой функции, вызван­ным малыми приращениями ее аргументов. Поскольку погрешности измерения аргументов всегда величины малые по сравнению с номи­нальными значениями аргументов, то справедлива замена в (2.8) дифференциалов аргументов dx_i на погрешности измерений дx_i, а диф­ференциала функции dA на погрешность результата измерения :

(2.9)

Совместные измерения. Пусть требуется определить зависимость у = f(x) между параметрами х и у. Для этого необходимо изменять величину х и при каждом ее установленном значении вы­полнять одновременное измерение величин х и у. В результате по­добных измерений находят координаты искомой зависимости у = f(x). Экспериментальные координаты (где i = 1, 2,..., п ­- число совместных измерений) отличаются от истинных координат (х, у) из-за систематических и случайных погрешностей. Поэтому возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависимости у = f (х) по координатам

Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов. Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероят­нейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции от значений самой функции y будет наименьшей

(2.10)

Пусть y является функцией нескольких аргументов:

(2.11)

где - (m+1) неизвестных коэффициентов. Тогда на основании п экспериментальных пар y_i и x_i следует определить (т + 1) искомых аргументов аналитической зависимости, которая наилучшим образом описывает массив y_i и x_i, т. е. метод наименьших квадратов требует выполнения условия

(2.12)

На основе метода наименьших квадратов аппроксимируют раз­личные аналитические зависимости, например, выражаемых полино­мами вида . Для нахождения коэффици­ентов нужно из (2.12) получить и приравнять нулю частные производные по каждому коэффициенту. Это позволит соста­вить систему из (т + 1) уравнений с неизвестными

Основная литература:

Дополнительная литература:

Контрольные вопросы:

1. Каков порядок обработки результатов однократныx измерений с точ­ным и приближенным оцениванием погрешностей? ­

2. Приведите алгоритм обработки результатов cовместных измерений?

3. Расскажите о методе наименьших квадратов?

Практическое занятие 3. Тема: Средства измерений: Аналоговые и цифровые измерительные приборы.

Задание. Сделайте конспект. Приведите примеры физических величин, которые могут быть преобразованы пневматическими преобразователями.

Методические рекомендации. Обратите внимание на виды и предназначение электрических первичных преобразователей.

Пневматические преобразователи длины и температуры. По принципу действия пневматические преобразователи можно подразделить на статические и динамические. Статические преобразовате­ли основаны на уравнении состояния идеального газа:

(3.1)

где P — давление; V— объем газа; Т— абсолютная температура; — количество вещества; R — газовая постоянная; N- число структурных единиц; к = 1, 38 • 10^-23 Вт • с/К — постоянная Больцмана.

Эта зависимость с достаточно хорошим приближением спра­ведлива и для реальных газов.

Из уравнения (3.1) вытекает, что изменение длины и темпера­туры можно измерить по изменению давления. Если в идеальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S воз­можно перемещение l только в осевом направлении, то, учиты­вая зависимость V= l S при постоянной температуре, получаем

(3.2)

При изменении давления P до значения происходит так­же изменение l до т. е.

(3.3)

Из уравнений (3.2) и (3.3) следует, что

(3.4)

При условии, что получаем

Таким образом, изменение длины практически пропорциональ­но изменению давления.

При условии постоянства объема существует аналогичная про­порциональная зависимость между изменением температуры и изменением давления:

Для преобразования малой длины целесообразно использовать систему сопло—заслонка. Измерение осуществляется бесконтакт­ным методом. Поток воздуха, выходящий из измерительного со­пла над давлением, попадает на измерительную поверхность. При небольшом расстоянии l_e между соплом и измерительной поверх­ностью под влиянием скоростного напора возникает заметное противодействие в направлении напорного трубопровода. Изме­нение давления является мерой расстояния l_e. При диаметре сопла d для расстояния в диапазоне 0 < l_e < 0, 15d между изменением давления и изменением длины l_e существует приближенная линейная зависимость

Оптические преобразователи, основанные на использовании за­конов волновой оптики. Преобразование различных измеряемых величин возможно также с помощью измерительных преобразо­вателей, использующих законы волновой оптики. Поляризация света применяется для анализа внутренних механических напря­жений материалов, пропускающих световое излучение для изме­рения концентрации растворов, прозрачных для светового излу­чения.

Для преобразования линейных размеров, в особенности не­больших изменений длины, нашли применение методы, осно­ванные на использовании интерференции света. Оптическая раз­ность длин, обусловленная геометрической разностью длин, вы­зывает смещение фазы волнового фронта. Это смещение оценива­ется с помощью интерференционной картины. Разность фаз

(3.5)

где п — показатель преломления; — изменение длины; — длина волны света.

При сохранении постоянных геометрических длин оптическая разность хода может также возникнуть вследствие различных зна­чений показателя преломления сред. Даже незначительное разли­чие показателей преломления можно оценить этим оптическим методом. Поскольку такое различие возникает в растворах разной концентрации, обеспечивается возможность с помощью рефрак­тометра по изменению показателя преломления определить кон­центрацию раствора.

Пьезоэлектрические преобразователи силы (длины, давления). В твердых материалах, характеризуемых дипольной структурой, например в кварце, турмалине, сульфате лития и специальных видах керамики, возникает пьезоэлектрический эффект. Этот эф­фект целесообразно использовать для измерений в тех случаях, когда элементарные диполи находятся в определенном положе­нии. При механической деформации кристалла прекращается взаимная компенсация зарядов, так что на внешних поверхностях возникает разностный заряд, который может быть измерен при использовании проводящих пленок. При этом электрическое поле из-за обратимости явления вызывает вторичную деформацию, которая пренебрежимо мала.

Возникающий заряд пропорционален прикладываемому уси­лию. Причем пьезомодуль

, (3.6)

где Q — заряд; F — прикладываемое усилие, зависит от свойств материала и направления прикладывания нагрузки. В обычных условиях пьезомодуль для кварца и турмалина составляет а для промышленной керамики — Поскольку преобразователь, заключенный между двумя про­водящими пленками, имеет емкость, то возникает напряжение:

(3.7)

где Q — заряд; — пьезомодуль; С — емкость; F_e — усилие.

Ввиду того что при практической реализации таких систем раз­меры пленок ограничены, максимально достижимая чувствитель­ность /С кристаллического преобразователя составляет а керамического преобразователя —

Электродинамические преобразователи колебаний. Под воздей­ствием переменного магнитного потока в катушке индуцируется напряжение , пропорциональное скорости изменения потока. Если изменение магнитного потока вызвано перемещением катушки в постоянном магнитном поле, то изменение напряжения зависит от скорости движения катушки. Основанные на таком принципе преобразователи имеют обычно один электромагнит цилиндри­ческой формы. В соответствии с законом электромагнитной ин­дукции электродвижущая сила (ЭДС), наведенная в катушке, определяется соот­ношением

(3.8)

где п — число витков; Ф — магнитный поток; t — время; В — магнитная индукция; S — эффективная площадь.

Если катушка находится в однородном участке постоянного магнитного поля и , то

(3.9)

где D — диаметр катушки; l_e — глубина втягивания; к — постоян­ная; — скорость.

Скорость и наведенная ЭДС взаимно пропорциональ­ны. Этот метод может быть использован также для косвенных из­мерений длины и ускорения, если напряжение измеряется после вычислительного звена (интегратора или дифференциатора).

Резистивные тензометрические преобразователи длины. Тензометрический преобразователь представляет собой проволоку вы­сокого сопротивления, наклеенную на специальную бумагу, обы­чно в форме меандра. Недавно стали получать тензометрические преобразователи в виде печатных схем. Относительное изменение сопротивления при растяжении проволоки используется в каче­стве меры изменения длины. При этом изменение сопротивления обусловлено не только изменением геометрической формы, но и внутренними механическими напряжениями.

Сопротивление проводника, имеющего сечение круглой формы,

(3.10)

где — удельное сопротивление; / — длина; S — площадь попе­речного сечения; D — диаметр.

После логарифмирования этого выражения и последующего дифференцирования получают компоненты изменения сопротив­ления:

dR/R = + dl/l - 2dD/D.

Заменив дифференциалы разностями и выразив поперечное сжатие через удлинение с помощью уравнения Пуассона, полу­чим

(3.11)

где — коэффициент поперечного сжатия.

Подставим в выражение для изменения удельного сопротивле­ния

где р — коэффициент пропорциональности.

Тогда относительное изменение сопротивления измерительной проволоки:

(3.12)

Коэффициент к указывается для каждого тензометрического преобразователя. Для металлической проволоки к = 2, так как = 0, 3 и = 0, 3... 0, 4. Для полупроводников этот коэффициент существенно больше. Изменение сопротивления измеряется мостом.

Резистивные преобразователи силы. Для прямого преобразова­ния силы можно использовать изменение переходного сопротивления контакта при различном усилии прижима контакта двух проводников. Угольные пластинки толщиной около 1мм наслаиваются таким образом, чтобы прикладывание осевого усилия изменяло переходное сопротивление контакта, которое практиче­ски и составляет активное сопротивление всего столба пластинок. Для общего активного сопротивления столба справедливо вы­ражение

R_a=R₀+R_K=R₀+k/F_e, (3.13)

где R₀ — сопротивление пластинок; R_K — контактное сопротивление между пластинками (переходное сопротивление контакта); к — коэффициент пропорциональности; F_e — сила. Исходя из этого, изменение сопротивления в зависимости от прикладываемой нагрузки можно представить в виде

Емкостные преобразователи. Емкостные преобразователи состоят из цилиндрических или пластинчатых конденсаторов с изменяю­щейся площадью электродов (или диэлектриков) либо с посто­янной площадью электродов, но с регулируемым расстоянием меж­ду ними. Изменение емкости измеряется с помощью мостовой схемы.

Выражение для емкости Спластинчатого конденсатора можно представить в виде:

(3.14)

где и — абсолютная и относительная диэлектрические по­стоянные; S — эффективная площадь; d — расстояние между пла­стинами.

Емкостные преобразователи длины. Измерение (преобразование) длины с помощью пластинчатого конденсатора возможно непо­средственно по расстоянию между пластинами (рис.3.1, а) или же косвенно по результатам оценки изменения эффективной пло­щади (например, в поворотном конденсаторе переменной емкос­ти) (рис.3.1, б), а также по соотношению параметров двух раз­личных диэлектриков между пластинами (рис.3.1, в).

При неизменном диэлектрике и постоянном расстоянии меж­ду пластинами можно записать

Рис.3.1. Емкостные преобразователи длины с помощью пластинчатого
конденсатора (а), поворотного конденсатора {б) и двух различных диэлектриков между пластинами (в)

При изменении расстояния между пластинами на емкость также изменяется на

и для малого расстояния можно определить соответствующее изменение емкости

Эта зависимость свидетельствует о почти пропорциональной зависимости емкости от изменения длины. Лучшую линейность и в более широком диапазоне можно получить с помощью диффе­ренциального конденсатора, когда изменение длины фиксирует­ся средней пластиной. В этом устройстве общая емкость остается постоянной. Изменение длины пропорционально разности частичных емкостей.

При симметричном расположении, т.е. при установке диффе­ренциального конденсатора в положение, когда С₁ = С₂ и, следо­вательно, изменение расстояния приводит к разности емкостей:

Поскольку для величиной практически можно пре­небречь, запишем окончательно

(3.15)

Наряду с улучшенной линейностью по сравнению с линейно­стью простых конденсаторов почти вдвое увеличивается также и чувствительность.

Если про­странство между пластинами конденсатора заполнено двумя веществами, имеющими различные диэлектрические свойства, на­пример воздухом и неэлектропроводной жидкостью, то измене­ние положения поверхности раздела двух сред вызывает измене­ние емкости конденсатора. На этом принципе можно создать очень простое устройство для измерения уровня. Конденсатор располагают таким образом, чтобы поверхность раздела сред была перпендикулярной (см. рис.3.1, в) поверхности пластин конденсатора.

Основная литература:

Дополнительная литература:

Контрольные вопросы:

1. Приведите схемы преобразователей линейных размеров, силы, давления и температуры.

2. Какие имеются разновидности электрических первичных преобра­зователей?

3. Какие существуют виды емкостных преобразовате­лей и для чего они предназначены?