Измерения физических величин. Классификация физических величин. 2 страница

1. Перечислите причины появления погрешностей измерений.

2. Назовите признаки, по которым классифицируются погрешности.

3. Что называют абсолютной, относительной и приведенной погрешностями?

4. Что такое систематические, случайные и грубые погрешности?

Тема лекции 3. Случайные погрешности. Нормальный закон распределенияпогрешностей (распределение Гаусса).Закон распределения Стьюдента.

Случайные погрешности. Если при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях ряда наблюдений одной и той же физической величины получены отличающиеся друг от друга результаты, то это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей.

Рассмотрим формирование дифференциального закона распре­деления плотности вероятностей случайной величины с помощью гистограммы на примере измерений с многократными наблюде­ниями (рис.3.1).

Пусть проведено n последовательных измерений одной и той же физической величины Х и получена группа ее значений X₁, Х₂, Х₃,..., Xп. Расположим результаты наблюдений в порядке возрастания их номе­ров от X minдо Хmах И затем найдем размах ряда Х = Хmах – Xmin.

Рис. 3.1. Гистограмма распределения результатов ряда наблюдений

Разделив размах ряда на k равных интервалов , подсчитаем коли­чество наблюдений одинаковых значений величины x, попадающих в свой интервал .

Представим полученные результаты графически, нанеся по оси абсцисс значения физической величины х и обозначив границы ин­тервалов с одинаковыми ее значениями, а по оси ординат - относи­тельную частоту попаданий туда этих значений P_k = n_k /п. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов с высотой P_k = , получим диаграмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте.Построенная на рис.3.1 диаграмма на­зывается гистограммой и характеризует распределение числа резуль­татов измерений исследуемой величины в зависимости от их значе­ния.

При бесконечном увеличении числа наблюдений и бесконечном уменьшении ширины интервалов , ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую p(x) (см. рис.3.1), называемую кривой одномерной плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение, описывающее ее, - дифференциальным законом распределения.

Кривая плотности вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормировки:

Если перейти от переменной х, т.е. измеряемой величины, к пе­ременной , отражающей случайную погрешность, то дифференци­альный закон (плотность вероятностей) распределения случайной погрешности можно записать в общепринятом виде:

, (3.1)

где - вероятность нахождения значений погрешности в ин­тервале .

Интегральным законом распределения случайной погрешности называют функцию , выражающую вероятность Р того, что случай­ная погрешность находится в интервале от до некоторого значения, меньшего граничного :

(3.2)

Функция неубывающая и определена так, что и . Интерес представляет поиск вероятности Р, с которой пог­решность измерений находится в заданном интервале погрешностей , где - нижняя и верхняя границы этого интервала. Записывают вероятность как и в общем случае . Если P = 0, 6 и выполнено 100 измерений, то считают, что 60 значений попадают в интервал .

Для определения вероятности можно исполь­зовать и интегральный и дифференциальный законы распределения. Между законами имеется такая связь:

(3.3)

Из физических представлений следует, что вероятность на­хождения погрешности на интервале всех возможных ее значений, т. е. на интервале , равна .

Часто необязательно описывать случайную погрешность с помо­щью законов распределения плотности вероятностей, а достаточно оха­рактеризовать числами отдельные ее свойства. Такие числовые харак­теристики называют моментами. Моменты являются начальными, если величины отсчитывают от начала координат, и цен­тральными, если величины отсчитывают от центра распределения.

Для рассматриваемых ниже симметричных законов приме­няется в основном центральный момент второго порядка, называе­мый дисперсией:

(3.4)

Дисперсия D характеризует рассеяние погрешностей относи­тельно центра распределения .

Поскольку дисперсия D имеет размерность квадрата погрешно­сти измерения, то обычно используют среднее квадратичное от­клонение , которое имеет размерность самой погрешности.

Нормальный закон распределения погрешностей (распределение Гаусса) применяют при следующих предположениях:

- погрешность может принимать непрерывный ряд значений в интер­вале ;

- при выполнении значительного числа наблюдений большие по­грешности появляются реже, чем малые, а частота появления по­грешностей, идентичных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова.

Одномерная плотность вероятностей для нормального закона распределения погрешностей имеет вид

(3.5)

Чем меньше, тем выше точность измерений. Это следует из графиков функции (3.5) для разных (рис.3.2). По мере уменьшения рассеяние случайных погрешностей относительно центра их рас­пределения, т. е. в данном случае относительно значения , уменьшается. При нормальном законе распределения погрешностей формула расчета вероятности находится подстановкой (3.5) в (3.3). Для симметричного интервала, т.е. :

(3.6)

Рис.3.2. Графики нормального закона распределения

Рассмотрим геометрическую интерпретацию вероятности распреде­ления случайных погрешностей (3.6). На графике, представленном на рис.3.2, для конкретного значения СКО вероятность численно равна площади S заштрихованной фигуры, ограниченной функцией , от­резком оси погрешностей в интервале , и ординатами .

Чем шире заданный интервал погрешностей , тем больше площадь S, т. е. выше вероятность попадания случайных погрешностей измерений в этот интервал. Для интервала случайных погрешностей вероятность .

При нормальном законе распределения случайной погрешности ; за истинную величину X_и =A принимают ее оптимальную оценку , равную оценке математического ожидания выполненного ряда наблюдений (Х₁, Х₂..., Х_n), т.е. полагают, что

, (3.7)

- есть результат измерения.

Закон распределения Стьюдента удобен при обработке результатов небольшого числа многократных наблюде­ний и справедлив, когда плотность вероятности случайных погреш­ностей распределена по нормальному закону. Закон описывает рас­пределение плотности вероятности случайной величины

, (3.8)

где - оценка СКО результата измерения .

Этот закон учитывает число выполненных наблюдений n и за­дается функцией

(3.9)

где - известные в математике гамма-функции (интегралы Эйлера).

На рис. 3.3 приведены графики закона распределения Стьюдента (семейство распределений Стьюдента) вида (3.9) для различного числа наблюдений n. Для сравнения на этом же рисунке показан гра­фик нормированного нормального распределения у которого СКО , а случайная относительная погрешность (в данном случае ­нормированная) принята равной

Отличия законов состоят в увеличении рассеяния погрешностей относи­тельно их центра по мере уменьшения числа наблюдений п. При этом следует ожидать уменьшения вероятности P попадания относительных случайных погрешностей в некоторый заданный интервал .

Рис.3.3. Графики закона распределения Стьюдента для числа различных наблюдений nи нормированного нормального распределения.

Для поиска подобной вероятности достаточно подставить соот­ношение (3.9) в формулу, аналогичную (3.3), но в которой пере­менная заменена на относительную , а пределы интеграла - на равные относительные .

Параметр называют в математике коэффициентом Стьюдента и для него принято специальное обозначение. При расчетах случайных погрешностей измерений задают некоторую доверительную вероят­ность Р_Д = Р и число проводимых наблюдений п. Поэтому этот коэф­фициент обозначают через t(Р_Д, n) и находят в таблице значений коэффициентов Стьюдента.

Основная литература:

Дополнительная литература:

Контрольные вопросы:

1. Назовите основные законы распределений случайных погрешностей.

2. Перечислите свойства интегральной и дифференциальной функций

распределения случайной величины.

3. Как описывается и когда используется распределение Стьюдента?

Тема лекции 4. Средства измерений. Классификация и свойства средств измерений.

Нормирование метрологических характеристик средств измерений. Классы точности средств измерений.Метрологическая надежность средств измерений.

Классификация и свойства средств измерений. Средство измерений – техническое средство (или их комплекс), предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящее и хранящее единицу физической величины, размер которой принимается неизменной в течение известного интервала времени.

Мера – средство измерения, воспроизводящее физическую величину заданного размера (значения). В качестве меры в электрических измерениях используют измерительные резисторы (мера электрического сопротивления) измерительные конденсаторы (мера электрической емкости) и т.д.

Устройство сравнения (компаратор) – это средство измерений, позволяющее сравнивать друг с другом меры однородных величин или же показания измерительных приборов. Примером устройства сравнения может служить фотореле.

Измерительный преобразователь – средство измерений, вырабатывающее сигнал измерительной информации в форме, удобной для передачи, преобразования, обработки и хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию исследователя.

Измерительный прибор – средство измерения, предназначенное для выработки требуемого сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия оператором.

Измерительная установка – совокупность функционально объединенных мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей и других устройств, предназначенная для измерений одной или нескольких физических величин и расположенная в одном месте. Измерительную установку, применяемую для поверки, называют поверочной, а входящую в состав эталона – эталонной установкой.

Измерительная система – совокупность функционально объединенных мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей, компьютеров и других технических средств, размещенных в разных точках контролируемого объекта с целью измерений одной или нескольких физических величин, свойственных этому объекту, и выработка измерительных сигналов в разных целях.

Нормирование метрологических характеристик средств измерений. Чтобы обеспечить единство измерений, знать степень соответст­вия информации об измеряемой величине, содержащейся в выходном сигнале, ее истинному значению, иметь возможность взаимно заме­нять средства измерений, метрологические характеристики последних нормируют.

Метрологические характеристики - это характеристики свойств средства измерений, оказывающие влияние на результат из­мерения и его погрешности.

Характеристики, устанавливаемые нор­мативно-техническими документами, называются нормируемыми, а определяемые экспериментально - действительными.

К метрологическим характеристикам средств измерений относят те, которые оказывают влияние на результаты и погрешности измерений. К ним относят:

- градуировочные характеристики - это характеристики, определяющие зависимость вы­ходного сигнала от входного; номинальное значение меры; пределы измерения; цена деления шкалы; вид и параметры цифрового кода;

- динамические характеристики, отражающие инерционные свой­ства средств измерений и позволяющие оценить динамические по­грешности;

- инструментальные составляющие погрешности измерения;

- функции влияния, отражающие зависимость метрологических характеристик средств измерений от воздействия влияющих величин или неинформативных параметров (напряжение, частота сети и т. д.).

Метрологические характеристики нормируют для нормальных условий эксплуатации средств измерений. Нормальными считают ус­ловия, при которых изменением метрологических характеристик под воздействием влияющих величин можно пренебречь.

Для нормальных условий применения средства измерения нор­мативными документами предусмотрены:

- нормальная область значений влияющей величины (диапазон зна­чений): температура окружающей среды - ; относитель­ная влажность - (65 15) %; практическое отсутствие электрических и магнитных полей; напряжение питающей сети - (220 4, 4) В; час­тота питающей сети - (50 1) Гц и т. д.; положение прибора - го­ризонтальное с отклонением от горизонтального ;

- рабочая область значений влияющей величины - область значе­ний влияющей величины, в пределах которой нормируют дополни­тельную погрешность или изменение показаний средства измерений;

- рабочие условия измерений - условия измерений, при которых значения влияющих величин находятся в пределах рабочих областей. Например, для амперметра нормируют изменение показаний, вызван­ное отклонением частоты переменного тока от 50 Гц (частоту 50 Гц в данном случае принимают за нормальное значение частоты); для из­мерительного конденсатора - дополнительную погрешность на от­клонение температуры окружающего воздуха от нормальной.

Инструментальную погрешность в нормальной области значения влияющих величин называют основной. Превышение значения влияющей величины за пределы нормальной области значений может привести к возникновению составляющей инструментальной по­грешности, называемой дополнительной.

Классы точности средств измерений. Класс точности - обобщенная характеристика средства изме­рения, определяемая пределами допускаемых основных и дополни­тельных погрешностей, а также другими свойствами средств измере­ний, влияющими на точность, значения которых устанавливают в со­ответствующих стандартах.

Классы точности устанавливают на средство измерения (в техни­ческих условиях или стандартах) при разработке на основании иссле­дований и испытаний их представительной партии. Пределы допус­каемых погрешностей нормируют и выражают в форме абсолютной относительной или приведенной погреш­ностей (далее индекс «си» для упрощения опущен). Форма выраже­ния зависит от характера изменения погрешностей в пределах диапа­зона измерений и условий применения и назначения средства измере­ния. Пределы допускаемых погрешностей средств измерений опреде­ляют аналогично погрешностям измерений соответственно по фор­мулам (2.1), (2.2) и (2.3).(см. лекцию 2).

Максимальная основная погрешность измерительного прибора, при которой он разрешен к применению, называют пределом допускаемой основной погрешности.

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности уста­навливают по одной из формул:

(4.1)

или (4.2)

где х - значение измеряемой величины; а, b - положительные числа.

Формула (4.1) описывает аддитивную составляющую погреш­ности. Нормирование в соответствии с (4.2) означает, что в составе погрешности средства измерения присутствует сумма аддитивной и мультипликативной составляющих.

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности, в процентах,

, (4.3)

где Х_N - нормирующее значение, выраженное в единицах абсо­лютной погрешности ; p - отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда предпочтительных чисел:

(4.4)

где n = 1, 0, -1, -2 и т. д.

Если погрешность задана формулой (4.1), то преде­лы допускаемой относительной основной погрешности, в процентах,

(4.5)

где q - отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда предпочтительных чисел в (4.4).

Когда допускаемая абсолютная основная погрешность задана формулой (4.2), пределы допускаемой относительной основной погрешности, в процентах,

(4.6)

где с - суммарная относительная погрешность прибора в конце диа­пазона измерения; d - аддитивная относительная погрешность при­бора; - конечное значение диапазона измерений; с, d – отвлеченные положительные числа, выбираемые из ряда предпочтительных чисел в (4.4), причем всегда с > d.

Числа а, Ь, с, d в (4.2) и (4.6) связаны между собой следующими соотношениями:

c=b+d; d=a/ , (4.7)

Таким образом, для средств измерений, у которых аддитивная и мультипликативная составляющие соизмеримы, предел относитель­ной допускаемой основной погрешности выражается формулой (4.6). Обозначение класса точности для этих средств из­мерений состоит из двух чисел, выражающих с и d в процентах и раз­деленных косой чертой (c/d), например класс точности 0, 05/0, 02. Та­кое обозначение удобно, так как первый его член с равен относитель­ной погрешности средства измерения в наиболее благоприятных ус­ловиях, когда измеряемая величина х = Х_k. При этом, согласно фор­муле (4.6), = с в %. Второй член формулы (4.6) характеризует увеличение относительной погрешности измерения при уменьшении х, т. е. аддитивной составляющей погрешности. К описанной группе средств измерений относятся цифровые приборы.

Предел допускаемой дополнительной погрешности (она может быть вызвана изменением влияющих величин) - наи­большая дополнительная погрешность, при которой средство из­мерения может быть допущено к применению. Например, для прибо­ра класса точности 1, 0 приведенная дополнительная погрешность при изменении температуры на 10⁰С не должна превышать 1 %. Это означает, что при изменении температуры среды на каждые 10⁰С до­бавляется дополнительная погрешность 1 %.

Метрологическая надежность средств измерений. В процессе эксплуатации метрологические характеристики (МХ) и параметры средств измерений претерпевают изменения. Эти изменения носят случайный монотонный или флуктуирующий характер и приводят к отказам, т.е. невозможности средств измерений выполнять свои функции. Неметрологическим называется отказ, обусловленный причинами, не связанными с изменением МХ средства измерений. Они носят главным образом явный характер, проявляются внезапно и могут быть обнаружены без проведения поверки.

Метрологическим называется отказ, вызванный выходом МХ из установленных допустимых границ. Это обусловливает необходимость разработки специальных методов их прогнозирования и обнаружения. Метрологические отказы подразделяются на внезапные и постепенные.

Внезапным называется отказ, характеризующийся скачкообразным изменением одной или нескольких МХ. Эти отказы в силу их случайности невозможно прогнозировать. Особенность внезапных отказов – постоянство во времени их интенсивности.

Постепенным называется отказ, характеризующийся монотонным изменением одной или нескольких МХ. По характеру проявления постепенные отказы являются скрытыми и могут быть выявлены только по результатам периодического контроля средств измерений. В дальнейшем рассматриваются именно такие отказы.

Надежность средств измерений характеризует их поведение с течением времени и является обобщенным понятием, включающим в себя стабильность, безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.

Стабильность средства измерений является качественной характеристикой, отражающей неизменность во времени его МХ. Она описывается временными зависимостями параметров закона распределения погрешности. Метрологические надежность (внешнее свойство средства измерений) и стабильность (внутреннее свойство) являются различными свойствами одного и того же процесса старения средств измерений.

Безотказностью называется свойство средства измерений непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени. Она характеризуется двумя состояниями: работоспособным и неработоспособным.

Долговечностью называется свойство средства измерений сохранять свое работоспособное состояние до наступления предельного состояния. Работоспособное состояние – это такое состояние средства измерений, при котором все его МХ соответствуют нормированным значениям. Предельным называется состояние средства измерений, при котором его применение недопустимо.

Ремонтопригодность – свойство средства измерений, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, восстановлению и поддержанию его работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Оно характеризуется затратами времени и средств на восстановление средства измерений после метрологического отказа и на поддержание его в работоспособном состоянии.