Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

1. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Определение. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если – дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности имеет вид

(5)

Уравнения нормали имеют вид

. (6)

Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

2. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Пусть уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме и . Тогда соответствующие уравнения будут иметь такой вид:

– уравнение касательной плоскости и

.

– уравнение нормали к поверхности.

Пример 3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой , .

Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив и в уравнение поверхности: . Таким образом, точка касания .