Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Понятия собственного значения и собственного вектора матрицы






    Лекция 22. Введение в проблему собственных значений

    План

    Понятия собственного значения и собственного вектора матрицы

    Задачи, приводящие к вычислению собственных значений

    Подобное преобразование матрицы, его свойства

    Свойства собственных значений и собственных векторов матрицы. Теорема о спектральном разложении матрицы

    Связь между спектральным радиусом и матричной нормой

    Понятия собственного значения и собственного вектора матрицы

    Определение 1. Скаляр называется собственным значнием, а вектор собственным вектором матрицы , если выполняется равенство:

     

    . (1)

     

    При этом пара называется собственной парой матрицы .

    Таким образом, собственный вектор – это такой специальный вектор, который при умножении на матрицу не меняет своего направления (при ) или меняет на противоположное (при ).

    Каждому собственному значению матрицы соответствует бесконечно много собтвенных векторов. Действительно, если - собственный вектор , отвечающий собственному значению (т.е. выполняется равенство (1)), то , где , также собственный вектор , отвечающий собственному значению . Действительно:

     

    ,

     

    т.е. по определению - собственная пара матрицы при любом .

    Определение 2. Многочлен

     

     

    относительно скаляра называется характеристическим многочленом матрицы (здесь - единичная матрица соответствующего размера), а уравнение

     

     

    характеристическим уравнением.

    Если матрица имеет размеры , то характеристический многочлен – это многочлен степени . Корни характеристического уравнения – это собственные значения матрицы , следовательно, -матрица имеет однозначно определяемых собственных значения.

    Определение 3. Множество всех собственных значений матрицы называется ее спектром.

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.